Номер 264, страница 92 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

264. 1) Доказать, что уравнение $x^2 - y^2 = 30$ не имеет целочисленных решений.

2) Доказать, что уравнение $21x^2 - 7y^2 = 9$ не имеет целочисленных решений.

1) Для доказательства того, что уравнение $x^2 - y^2 = 30$ не имеет решений в целых числах, воспользуемся методом сравнения по модулю 4.

Рассмотрим правую часть уравнения: $30 = 4 \cdot 7 + 2$. Следовательно, правая часть уравнения при делении на 4 дает остаток 2, то есть $30 \equiv 2 \pmod{4}$.

Таким образом, исходное уравнение в виде сравнения по модулю 4 выглядит так: $x^2 - y^2 \equiv 2 \pmod{4}$.

Теперь выясним, какие остатки может давать квадрат целого числа при делении на 4. Пусть $n$ — произвольное целое число.

• Если $n$ — четное число, то $n = 2k$ для некоторого целого $k$. Тогда $n^2 = (2k)^2 = 4k^2$, что сравнимо с 0 по модулю 4: $n^2 \equiv 0 \pmod{4}$.
• Если $n$ — нечетное число, то $n = 2k + 1$ для некоторого целого $k$. Тогда $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2+k) + 1$, что сравнимо с 1 по модулю 4: $n^2 \equiv 1 \pmod{4}$.

Итак, квадрат любого целого числа может быть сравним либо с 0, либо с 1 по модулю 4.

Проверим, какие значения может принимать разность $x^2 - y^2$ по модулю 4, зная, что $x^2$ и $y^2$ могут быть сравнимы только с 0 или 1:

• $0 - 0 \equiv 0 \pmod{4}$
• $1 - 0 \equiv 1 \pmod{4}$
• $0 - 1 \equiv -1 \equiv 3 \pmod{4}$
• $1 - 1 \equiv 0 \pmod{4}$

Следовательно, разность квадратов двух целых чисел может быть сравнима только с 0, 1 или 3 по модулю 4. Она никогда не может быть сравнима с 2.

Это приводит к противоречию, так как левая часть уравнения $x^2 - y^2$ не может быть сравнима с 2 по модулю 4, в то время как правая часть, равная 30, сравнима с 2 по модулю 4. Значит, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: Уравнение не имеет целочисленных решений.

2) Рассмотрим уравнение $21x^2 - 7y^2 = 9$. Требуется доказать, что оно не имеет решений в целых числах $x$ и $y$.

Обратим внимание на коэффициенты в левой части уравнения. Оба коэффициента, 21 и 7, делятся на 7. Вынесем общий множитель 7 за скобки:

$7(3x^2 - y^2) = 9$

Поскольку $x$ и $y$ по условию являются целыми числами, то $x^2$ и $y^2$ также являются целыми числами. Следовательно, выражение в скобках $3x^2 - y^2$ также является целым числом. Обозначим его как $k = 3x^2 - y^2$, где $k$ — некоторое целое число.

Тогда уравнение принимает вид $7k = 9$.

Из этого следует, что левая часть уравнения, $7k$, как произведение целого числа на 7, должна быть кратна 7. Однако правая часть уравнения, число 9, не делится нацело на 7.

Мы получили противоречие: целое число, кратное 7, не может быть равно 9. Следовательно, не существует таких целых чисел $x$ и $y$, которые бы удовлетворяли исходному уравнению.

Ответ: Уравнение не имеет целочисленных решений.