Номер 257, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

257. 1) Доказать, что число $n^3 + 3n^2 + 5n + 3$ делится на 3 при любом $n \in N$.

2) Доказать, что число $2n^3 - 3n^2 + n$ делится на 6 при любом $n \in N$ ($n > 1$).

1)

Чтобы доказать, что число $n^3 + 3n^2 + 5n + 3$ делится на 3 при любом $n \in N$, преобразуем данное выражение. Мы можем переписать его, выделив слагаемые, кратность которых трем очевидна:
$n^3 + 3n^2 + 5n + 3 = (n^3 - n) + n + 3n^2 + 5n + 3 = (n^3 - n) + 3n^2 + 6n + 3$.
Теперь сгруппируем слагаемые:
$(n^3 - n) + (3n^2 + 6n + 3) = n(n^2-1) + 3(n^2 + 2n + 1) = (n-1)n(n+1) + 3(n+1)^2$.
Рассмотрим полученную сумму. Первое слагаемое, $(n-1)n(n+1)$, является произведением трех последовательных натуральных чисел. Среди любых трех последовательных чисел одно обязательно делится на 3, поэтому их произведение всегда делится на 3. Второе слагаемое, $3(n+1)^2$, также очевидно делится на 3, так как содержит множитель 3.
Поскольку оба слагаемых делятся на 3, их сумма также делится на 3. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано.

2)

Чтобы доказать, что число $2n^3 - 3n^2 + n$ делится на 6 при любом натуральном $n > 1$, сначала разложим выражение на множители. Для этого вынесем $n$ за скобки:
$2n^3 - 3n^2 + n = n(2n^2 - 3n + 1)$.
Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $2n^2 - 3n + 1$. Его корнями являются $n_1=1$ и $n_2=1/2$. Тогда $2n^2 - 3n + 1 = 2(n-1)(n-1/2) = (n-1)(2n-1)$.
Таким образом, исходное выражение равно:
$(n-1)n(2n-1)$.
Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться одновременно на 2 и на 3 (так как 2 и 3 — взаимно простые числа).
Делимость на 2: Выражение содержит множитель $(n-1)n$, который является произведением двух последовательных целых чисел. Одно из них обязательно четное, поэтому их произведение делится на 2. Следовательно, все выражение делится на 2.
Делимость на 3: Рассмотрим возможные остатки от деления $n$ на 3:
- Если $n$ делится на 3 ($n \equiv 0 \pmod{3}$), то множитель $n$ делится на 3, и все произведение делится на 3.
- Если $n$ дает остаток 1 при делении на 3 ($n \equiv 1 \pmod{3}$), то множитель $(n-1)$ делится на 3, и все произведение делится на 3.
- Если $n$ дает остаток 2 при делении на 3 ($n \equiv 2 \pmod{3}$), то множитель $(2n-1)$ будет делиться на 3, так как $2 \cdot 2 - 1 = 3 \equiv 0 \pmod{3}$. В этом случае все произведение также делится на 3.
Во всех случаях выражение делится на 3.
Поскольку выражение $2n^3 - 3n^2 + n$ делится и на 2, и на 3, оно делится и на их произведение, то есть на 6.

Ответ: Доказано.