Номер 253, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

253. Доказать, что число $6 \cdot 7204^{15} + 364^{22}$ делится на 4.

Чтобы доказать, что число $6 \cdot 7204^{15} + 364^{22}$ делится на 4, мы проанализируем каждое слагаемое в этой сумме на предмет делимости на 4. Если каждое слагаемое делится на 4, то и вся сумма будет делиться на 4.

Анализ первого слагаемого: $6 \cdot 7204^{15}$

Воспользуемся признаком делимости на 4: число делится на 4 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4. Для числа 7204 две последние цифры образуют число 04. Так как 4 делится на 4, то и само число 7204 делится на 4. Поскольку 7204 кратно 4, то любая его натуральная степень, в данном случае $7204^{15}$, также будет кратна 4. Произведение числа, кратного 4 (т.е. $7204^{15}$), на любое целое число (в нашем случае 6) также будет кратно 4. Следовательно, первое слагаемое $6 \cdot 7204^{15}$ делится на 4.

Анализ второго слагаемого: $364^{22}$

Рассмотрим число 364. Две его последние цифры образуют число 64. Так как $64 = 4 \cdot 16$, число 64 делится на 4. Следовательно, и само число 364 делится на 4. Поскольку 364 кратно 4, то любая его натуральная степень, в данном случае $364^{22}$, также будет кратна 4.

Вывод

Мы показали, что оба слагаемых, $6 \cdot 7204^{15}$ и $364^{22}$, делятся на 4. Сумма двух чисел, каждое из которых делится на 4, всегда делится на 4. Таким образом, выражение $6 \cdot 7204^{15} + 364^{22}$ делится на 4.

Альтернативное решение с использованием сравнений по модулю

Проверим делимость оснований степеней на 4: $7204 \div 4 = 1801$, остаток 0. Значит, $7204 \equiv 0 \pmod{4}$. $364 \div 4 = 91$, остаток 0. Значит, $364 \equiv 0 \pmod{4}$. Теперь подставим эти сравнения в исходное выражение: $6 \cdot 7204^{15} + 364^{22} \equiv 6 \cdot 0^{15} + 0^{22} \pmod{4}$. Для любых натуральных степеней $15$ и $22$: $0^{15}=0$ и $0^{22}=0$. $6 \cdot 0 + 0 \equiv 0 \pmod{4}$. Так как остаток от деления всего выражения на 4 равен 0, это доказывает, что число $6 \cdot 7204^{15} + 364^{22}$ делится на 4.

Ответ: Утверждение доказано. Число $6 \cdot 7204^{15} + 364^{22}$ делится на 4, поскольку представляет собой сумму двух слагаемых, каждое из которых кратно 4. Это следует из того, что основания степеней (7204 и 364) делятся на 4.