Номер 246, страница 84 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

246. Пусть натуральное число $n$ не делится на 3. Доказать, что число $n^2 - 1$ делится на 3.

Для доказательства данного утверждения можно воспользоваться несколькими способами.

Способ 1: Доказательство через рассмотрение остатков
Поскольку натуральное число $n$ не делится на 3, то при делении на 3 оно может давать в остатке либо 1, либо 2. Рассмотрим оба случая.

1. Случай, когда $n$ дает остаток 1 при делении на 3.
В этом случае число $n$ можно представить в виде $n = 3k + 1$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число. Подставим это выражение в $n^2 - 1$:
$n^2 - 1 = (3k + 1)^2 - 1 = (9k^2 + 6k + 1) - 1 = 9k^2 + 6k$.
Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$9k^2 + 6k = 3(3k^2 + 2k)$.
Так как $k$ — целое число, то выражение в скобках $3k^2 + 2k$ также является целым числом. Следовательно, число $n^2 - 1$ делится на 3.

2. Случай, когда $n$ дает остаток 2 при делении на 3.
В этом случае число $n$ можно представить в виде $n = 3k + 2$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число. Подставим это выражение в $n^2 - 1$:
$n^2 - 1 = (3k + 2)^2 - 1 = (9k^2 + 12k + 4) - 1 = 9k^2 + 12k + 3$.
Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$9k^2 + 12k + 3 = 3(3k^2 + 4k + 1)$.
Так как $k$ — целое число, то выражение в скобках $3k^2 + 4k + 1$ также является целым числом. Следовательно, число $n^2 - 1$ делится на 3.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи для натурального числа $n$, не делящегося на 3, и в каждом из них показали, что $n^2-1$ делится на 3.

Способ 2: Доказательство через разложение на множители
Выражение $n^2 - 1$ является разностью квадратов и может быть разложено на множители:
$n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)$.

Рассмотрим три последовательных натуральных числа: $(n - 1)$, $n$, $(n + 1)$. Известно, что произведение любых трех последовательных натуральных чисел делится на 3, так как одно из них обязательно кратно 3.
По условию задачи, число $n$ не делится на 3.
Следовательно, на 3 должно делиться одно из двух других чисел в этой тройке: либо $(n - 1)$, либо $(n + 1)$.
Поскольку один из множителей произведения $(n - 1)(n + 1)$ делится на 3, то и само произведение делится на 3.

Оба способа приводят к одному и тому же выводу.
Ответ: Утверждение доказано: если натуральное число $n$ не делится на 3, то число $n^2-1$ всегда делится на 3.