Номер 245, страница 84 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

245. Найти остаток от деления числа $36^{24} + 21^{45} + 7^8$ на 10.

Чтобы найти остаток от деления числа на 10, достаточно найти последнюю цифру этого числа. Остаток от деления суммы на число равен остатку от деления суммы остатков слагаемых на это же число. Это можно записать с помощью сравнений по модулю 10.

Найдем последнюю цифру для каждого слагаемого в выражении $36^{24} + 21^{45} + 7^8$.

1. Найдем последнюю цифру числа $36^{24}$
Последняя цифра числа $36$ равна 6. При возведении в любую натуральную степень числа, оканчивающегося на 6, результат также будет оканчиваться на 6.
Например: $6^1 = 6$, $6^2 = 36$, $6^3 = 216$, и так далее.
Следовательно, число $36^{24}$ оканчивается на 6. В терминах сравнений по модулю это записывается так:
$36 \equiv 6 \pmod{10}$
$36^{24} \equiv 6^{24} \equiv 6 \pmod{10}$

2. Найдем последнюю цифру числа $21^{45}$
Последняя цифра числа $21$ равна 1. При возведении в любую натуральную степень числа, оканчивающегося на 1, результат также будет оканчиваться на 1.
Следовательно, число $21^{45}$ оканчивается на 1.
$21 \equiv 1 \pmod{10}$
$21^{45} \equiv 1^{45} \equiv 1 \pmod{10}$

3. Найдем последнюю цифру числа $7^8$
Рассмотрим, как изменяется последняя цифра при возведении числа 7 в степень:
$7^1 = 7$ (последняя цифра 7)
$7^2 = 49$ (последняя цифра 9)
$7^3 = 343$ (последняя цифра 3)
$7^4 = 2401$ (последняя цифра 1)
$7^5 = 16807$ (последняя цифра 7)
Последние цифры степеней семерки циклически повторяются с периодом 4: (7, 9, 3, 1). Чтобы найти последнюю цифру $7^8$, нужно определить, на каком месте в цикле находится 8-я степень. Для этого разделим показатель степени 8 на длину цикла 4:
$8 \div 4 = 2$ с остатком 0.
Остаток 0 означает, что последняя цифра будет такой же, как у последнего элемента цикла, то есть как у $7^4$. Последняя цифра $7^4$ - это 1.
Следовательно, число $7^8$ оканчивается на 1.
$7^8 \equiv (7^4)^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{10}$

4. Сложим последние цифры
Теперь сложим последние цифры каждого из слагаемых, чтобы найти последнюю цифру всей суммы:
$6 + 1 + 1 = 8$
Последняя цифра числа $36^{24} + 21^{45} + 7^8$ равна 8.

Таким образом, остаток от деления числа $36^{24} + 21^{45} + 7^8$ на 10 равен 8.
Используя сравнения по модулю: $36^{24} + 21^{45} + 7^8 \equiv 6 + 1 + 1 \equiv 8 \pmod{10}$

Ответ: 8