Страница 84 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

243. Найти остаток от деления:

1) числа $39^{46}$ на 5;

2) числа $64^{29}$ на 7;

3) числа $103^{15}$ на 17;

4) числа $10^{10} + 28^3 - 1$ на 3;

5) числа $7 \cdot 10^{30}$ на 9.

1) Для нахождения остатка от деления числа $39^{46}$ на 5 воспользуемся свойствами сравнений по модулю. Сначала найдем остаток от деления основания степени, числа 39, на 5.
$39 = 5 \cdot 7 + 4$.
Следовательно, 39 дает остаток 4 при делении на 5, что можно записать как $39 \equiv 4 \pmod{5}$.
Также, $4 \equiv -1 \pmod{5}$. Это упростит вычисления.
Теперь мы можем заменить основание степени на его остаток:
$39^{46} \equiv 4^{46} \equiv (-1)^{46} \pmod{5}$.
Поскольку показатель степени 46 является четным числом, $(-1)^{46} = 1$.
Таким образом, $39^{46} \equiv 1 \pmod{5}$.
Это означает, что остаток от деления числа $39^{46}$ на 5 равен 1.

Ответ: 1

2) Найдем остаток от деления числа $64^{29}$ на 7. Сначала найдем остаток от деления 64 на 7.
$64 = 7 \cdot 9 + 1$.
Следовательно, $64 \equiv 1 \pmod{7}$.
Теперь возведем обе части сравнения в степень 29:
$64^{29} \equiv 1^{29} \pmod{7}$.
Так как $1^{29} = 1$, получаем:
$64^{29} \equiv 1 \pmod{7}$.
Остаток от деления числа $64^{29}$ на 7 равен 1.

Ответ: 1

3) Найдем остаток от деления числа $103^{15}$ на 17. Сначала найдем остаток от деления 103 на 17.
$103 = 17 \cdot 6 + 1$.
Следовательно, $103 \equiv 1 \pmod{17}$.
Возведем обе части сравнения в степень 15:
$103^{15} \equiv 1^{15} \pmod{17}$.
Так как $1^{15} = 1$, получаем:
$103^{15} \equiv 1 \pmod{17}$.
Остаток от деления числа $103^{15}$ на 17 равен 1.

Ответ: 1

4) Найдем остаток от деления числа $10^{10} + 28^3 - 1$ на 3. Для этого найдем остатки от деления каждого слагаемого на 3.
Для первого слагаемого $10^{10}$:
$10 = 3 \cdot 3 + 1 \Rightarrow 10 \equiv 1 \pmod{3}$.
$10^{10} \equiv 1^{10} \equiv 1 \pmod{3}$.
Для второго слагаемого $28^3$:
$28 = 3 \cdot 9 + 1 \Rightarrow 28 \equiv 1 \pmod{3}$.
$28^3 \equiv 1^3 \equiv 1 \pmod{3}$.
Для третьего слагаемого $-1$:
$-1 \equiv 2 \pmod{3}$.
Теперь сложим остатки:
$10^{10} + 28^3 - 1 \equiv 1 + 1 - 1 \pmod{3}$.
$1 + 1 - 1 = 1$.
Следовательно, $10^{10} + 28^3 - 1 \equiv 1 \pmod{3}$.
Остаток от деления данного числа на 3 равен 1.

Ответ: 1

5) Найдем остаток от деления числа $7 \cdot 10^{30}$ на 9. Воспользуемся свойством, что число и сумма его цифр имеют одинаковые остатки при делении на 9.
Для числа 10: $10 \equiv 1+0 \equiv 1 \pmod{9}$.
Тогда $10^{30} \equiv 1^{30} \equiv 1 \pmod{9}$.
Теперь найдем остаток от деления всего выражения:
$7 \cdot 10^{30} \equiv 7 \cdot 1 \pmod{9}$.
$7 \cdot 1 = 7$.
Значит, $7 \cdot 10^{30} \equiv 7 \pmod{9}$.
Остаток от деления числа $7 \cdot 10^{30}$ на 9 равен 7.

Ответ: 7

244. Найти последнюю цифру числа $12^{39} + 13^{41}$.

Для того чтобы найти последнюю цифру числа $12^{39} + 13^{41}$, мы найдем последнюю цифру каждого слагаемого в отдельности и затем найдем последнюю цифру их суммы. Поиск последней цифры числа эквивалентен нахождению остатка от деления этого числа на 10.

Сначала найдем последнюю цифру числа $12^{39}$. Она совпадает с последней цифрой числа $2^{39}$, так как последняя цифра степени определяется последней цифрой ее основания. Рассмотрим последовательность последних цифр степеней числа 2:
$2^1$ оканчивается на 2;
$2^2$ оканчивается на 4;
$2^3$ оканчивается на 8;
$2^4$ оканчивается на 6;
$2^5$ оканчивается на 2.
Видно, что последние цифры повторяются с циклом длиной 4: (2, 4, 8, 6). Чтобы определить последнюю цифру для $2^{39}$, нужно найти остаток от деления показателя степени 39 на длину цикла 4:
$39 = 4 \times 9 + 3$.
Остаток равен 3. Это означает, что последняя цифра числа $2^{39}$ будет такой же, как и третья цифра в цикле, то есть как у $2^3$. Последняя цифра $2^3=8$ - это 8. Следовательно, число $12^{39}$ оканчивается на 8.

Теперь найдем последнюю цифру числа $13^{41}$. Она совпадает с последней цифрой числа $3^{41}$. Рассмотрим последовательность последних цифр степеней числа 3:
$3^1$ оканчивается на 3;
$3^2$ оканчивается на 9;
$3^3$ оканчивается на 7;
$3^4$ оканчивается на 1;
$3^5$ оканчивается на 3.
Здесь последние цифры также повторяются с циклом длиной 4: (3, 9, 7, 1). Чтобы определить последнюю цифру для $3^{41}$, найдем остаток от деления показателя степени 41 на 4:
$41 = 4 \times 10 + 1$.
Остаток равен 1. Это означает, что последняя цифра числа $3^{41}$ будет такой же, как и первая цифра в цикле, то есть как у $3^1$. Последняя цифра $3^1=3$ - это 3. Следовательно, число $13^{41}$ оканчивается на 3.

Наконец, чтобы найти последнюю цифру суммы $12^{39} + 13^{41}$, нужно сложить последние цифры каждого слагаемого: $8 + 3 = 11$.
Последняя цифра числа 11 - это 1.
Таким образом, последняя цифра числа $12^{39} + 13^{41}$ равна 1.

Ответ: 1

245. Найти остаток от деления числа $36^{24} + 21^{45} + 7^8$ на 10.

Чтобы найти остаток от деления числа на 10, достаточно найти последнюю цифру этого числа. Остаток от деления суммы на число равен остатку от деления суммы остатков слагаемых на это же число. Это можно записать с помощью сравнений по модулю 10.

Найдем последнюю цифру для каждого слагаемого в выражении $36^{24} + 21^{45} + 7^8$.

1. Найдем последнюю цифру числа $36^{24}$
Последняя цифра числа $36$ равна 6. При возведении в любую натуральную степень числа, оканчивающегося на 6, результат также будет оканчиваться на 6.
Например: $6^1 = 6$, $6^2 = 36$, $6^3 = 216$, и так далее.
Следовательно, число $36^{24}$ оканчивается на 6. В терминах сравнений по модулю это записывается так:
$36 \equiv 6 \pmod{10}$
$36^{24} \equiv 6^{24} \equiv 6 \pmod{10}$

2. Найдем последнюю цифру числа $21^{45}$
Последняя цифра числа $21$ равна 1. При возведении в любую натуральную степень числа, оканчивающегося на 1, результат также будет оканчиваться на 1.
Следовательно, число $21^{45}$ оканчивается на 1.
$21 \equiv 1 \pmod{10}$
$21^{45} \equiv 1^{45} \equiv 1 \pmod{10}$

3. Найдем последнюю цифру числа $7^8$
Рассмотрим, как изменяется последняя цифра при возведении числа 7 в степень:
$7^1 = 7$ (последняя цифра 7)
$7^2 = 49$ (последняя цифра 9)
$7^3 = 343$ (последняя цифра 3)
$7^4 = 2401$ (последняя цифра 1)
$7^5 = 16807$ (последняя цифра 7)
Последние цифры степеней семерки циклически повторяются с периодом 4: (7, 9, 3, 1). Чтобы найти последнюю цифру $7^8$, нужно определить, на каком месте в цикле находится 8-я степень. Для этого разделим показатель степени 8 на длину цикла 4:
$8 \div 4 = 2$ с остатком 0.
Остаток 0 означает, что последняя цифра будет такой же, как у последнего элемента цикла, то есть как у $7^4$. Последняя цифра $7^4$ - это 1.
Следовательно, число $7^8$ оканчивается на 1.
$7^8 \equiv (7^4)^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{10}$

4. Сложим последние цифры
Теперь сложим последние цифры каждого из слагаемых, чтобы найти последнюю цифру всей суммы:
$6 + 1 + 1 = 8$
Последняя цифра числа $36^{24} + 21^{45} + 7^8$ равна 8.

Таким образом, остаток от деления числа $36^{24} + 21^{45} + 7^8$ на 10 равен 8.
Используя сравнения по модулю: $36^{24} + 21^{45} + 7^8 \equiv 6 + 1 + 1 \equiv 8 \pmod{10}$

Ответ: 8

246. Пусть натуральное число $n$ не делится на 3. Доказать, что число $n^2 - 1$ делится на 3.

Для доказательства данного утверждения можно воспользоваться несколькими способами.

Способ 1: Доказательство через рассмотрение остатков
Поскольку натуральное число $n$ не делится на 3, то при делении на 3 оно может давать в остатке либо 1, либо 2. Рассмотрим оба случая.

1. Случай, когда $n$ дает остаток 1 при делении на 3.
В этом случае число $n$ можно представить в виде $n = 3k + 1$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число. Подставим это выражение в $n^2 - 1$:
$n^2 - 1 = (3k + 1)^2 - 1 = (9k^2 + 6k + 1) - 1 = 9k^2 + 6k$.
Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$9k^2 + 6k = 3(3k^2 + 2k)$.
Так как $k$ — целое число, то выражение в скобках $3k^2 + 2k$ также является целым числом. Следовательно, число $n^2 - 1$ делится на 3.

2. Случай, когда $n$ дает остаток 2 при делении на 3.
В этом случае число $n$ можно представить в виде $n = 3k + 2$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число. Подставим это выражение в $n^2 - 1$:
$n^2 - 1 = (3k + 2)^2 - 1 = (9k^2 + 12k + 4) - 1 = 9k^2 + 12k + 3$.
Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$9k^2 + 12k + 3 = 3(3k^2 + 4k + 1)$.
Так как $k$ — целое число, то выражение в скобках $3k^2 + 4k + 1$ также является целым числом. Следовательно, число $n^2 - 1$ делится на 3.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи для натурального числа $n$, не делящегося на 3, и в каждом из них показали, что $n^2-1$ делится на 3.

Способ 2: Доказательство через разложение на множители
Выражение $n^2 - 1$ является разностью квадратов и может быть разложено на множители:
$n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)$.

Рассмотрим три последовательных натуральных числа: $(n - 1)$, $n$, $(n + 1)$. Известно, что произведение любых трех последовательных натуральных чисел делится на 3, так как одно из них обязательно кратно 3.
По условию задачи, число $n$ не делится на 3.
Следовательно, на 3 должно делиться одно из двух других чисел в этой тройке: либо $(n - 1)$, либо $(n + 1)$.
Поскольку один из множителей произведения $(n - 1)(n + 1)$ делится на 3, то и само произведение делится на 3.

Оба способа приводят к одному и тому же выводу.
Ответ: Утверждение доказано: если натуральное число $n$ не делится на 3, то число $n^2-1$ всегда делится на 3.

247. Доказать, что число $96^9 - 32^5 - 48^6$ делится на 10.

Чтобы доказать, что число $96^9 - 32^5 - 48^6$ делится на 10, достаточно показать, что его последняя цифра равна 0. Последняя цифра числа — это остаток от деления этого числа на 10. Для этого найдем последнюю цифру каждого члена выражения по отдельности.

1. Определение последней цифры числа $96^9$

Последняя цифра степени числа определяется последней цифрой его основания. В данном случае это цифра 6. Рассмотрим, на какие цифры оканчиваются степени числа 6:

$6^1 = 6$

$6^2 = 36$

$6^3 = 216$

Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 6, также будет оканчиваться на 6. Таким образом, последняя цифра числа $96^9$ равна 6.

На языке сравнений по модулю 10 это записывается так: $96 \equiv 6 \pmod{10}$, следовательно, $96^9 \equiv 6^9 \equiv 6 \pmod{10}$.

2. Определение последней цифры числа $32^5$

Последняя цифра числа $32^5$ такая же, как у $2^5$. Рассмотрим последние цифры степеней числа 2:

$2^1 = 2$

$2^2 = 4$

$2^3 = 8$

$2^4 = 16$ (оканчивается на 6)

$2^5 = 32$ (оканчивается на 2)

Последние цифры степеней двойки повторяются с периодом 4: (2, 4, 8, 6). Показатель степени 5 при делении на 4 дает в остатке 1 ($5 = 4 \cdot 1 + 1$), значит, последняя цифра будет такой же, как у $2^1$, то есть 2.

На языке сравнений: $32 \equiv 2 \pmod{10}$, следовательно, $32^5 \equiv 2^5 = 32 \equiv 2 \pmod{10}$.

3. Определение последней цифры числа $48^6$

Последняя цифра числа $48^6$ такая же, как у $8^6$. Рассмотрим последние цифры степеней числа 8:

$8^1 = 8$

$8^2 = 64$ (оканчивается на 4)

$8^3 = 512$ (оканчивается на 2)

$8^4 = 4096$ (оканчивается на 6)

Последние цифры степеней восьмерки повторяются с периодом 4: (8, 4, 2, 6). Показатель степени 6 при делении на 4 дает в остатке 2 ($6 = 4 \cdot 1 + 2$), значит, последняя цифра будет такой же, как у $8^2$, то есть 4.

На языке сравнений: $48 \equiv 8 \pmod{10}$, следовательно, $48^6 \equiv 8^6 = (8^2)^3 = 64^3 \equiv 4^3 = 64 \equiv 4 \pmod{10}$.

4. Вычисление последней цифры всего выражения

Теперь, зная последние цифры каждого из членов, найдем последнюю цифру всего выражения $96^9 - 32^5 - 48^6$. Она будет такой же, как последняя цифра разности их последних цифр:

...6 − ...2 − ...4

Результатом будет число, оканчивающееся на $6 - 2 - 4 = 0$.

Используя сравнения по модулю 10, запишем это формально:

$96^9 - 32^5 - 48^6 \equiv 6 - 2 - 4 \pmod{10}$

$6 - 2 - 4 = 0$

Следовательно, $96^9 - 32^5 - 48^6 \equiv 0 \pmod{10}$.

Поскольку остаток от деления числа $96^9 - 32^5 - 48^6$ на 10 равен 0, это число делится на 10.

Ответ: Утверждение доказано. Число $96^9 - 32^5 - 48^6$ оканчивается на 0, а значит, оно делится на 10.

248. Найти остаток от деления на 11 числа a, если:

1) $a = 2^{2002} + 3^{2002}$;

2) $a = 3^{2002} + 7^{2002}$.

Для решения этой задачи мы будем использовать сравнения по модулю и малую теорему Ферма. Малая теорема Ферма гласит, что если $p$ — простое число, то для любого целого числа $x$, не делящегося на $p$, выполняется сравнение $x^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

В нашем случае мы ищем остаток от деления на 11. Так как 11 — простое число, мы можем применить теорему Ферма: для любого целого числа $x$, не кратного 11, справедливо $x^{11-1} \equiv x^{10} \equiv 1 \pmod{11}$.

1) $a = 2^{2002} + 3^{2002}$

Нам нужно найти $a \pmod{11}$. Для этого найдем остатки от деления на 11 для каждого слагаемого по отдельности.

Представим показатель степени 2002 через 10:

$2002 = 10 \cdot 200 + 2$.

Теперь найдем остаток для $2^{2002}$:

$2^{2002} = 2^{10 \cdot 200 + 2} = (2^{10})^{200} \cdot 2^2$.

По малой теореме Ферма, $2^{10} \equiv 1 \pmod{11}$.

Следовательно, $2^{2002} \equiv (1)^{200} \cdot 2^2 \pmod{11} \equiv 1 \cdot 4 \pmod{11} \equiv 4 \pmod{11}$.

Теперь найдем остаток для $3^{2002}$:

$3^{2002} = 3^{10 \cdot 200 + 2} = (3^{10})^{200} \cdot 3^2$.

По малой теореме Ферма, $3^{10} \equiv 1 \pmod{11}$.

Следовательно, $3^{2002} \equiv (1)^{200} \cdot 3^2 \pmod{11} \equiv 1 \cdot 9 \pmod{11} \equiv 9 \pmod{11}$.

Теперь сложим полученные остатки:

$a = 2^{2002} + 3^{2002} \equiv 4 + 9 \pmod{11} \equiv 13 \pmod{11}$.

Найдем остаток от деления 13 на 11: $13 = 1 \cdot 11 + 2$. Значит, $13 \equiv 2 \pmod{11}$.

Таким образом, остаток от деления числа $a$ на 11 равен 2.

Ответ: 2

2) $a = 3^{2002} + 7^{2002}$

Из предыдущего пункта мы уже знаем, что $3^{2002} \equiv 9 \pmod{11}$.

Теперь найдем остаток от деления на 11 для второго слагаемого $7^{2002}$.

Показатель степени тот же: $2002 = 10 \cdot 200 + 2$.

$7^{2002} = 7^{10 \cdot 200 + 2} = (7^{10})^{200} \cdot 7^2$.

По малой теореме Ферма, $7^{10} \equiv 1 \pmod{11}$.

Следовательно, $7^{2002} \equiv (1)^{200} \cdot 7^2 \pmod{11} \equiv 1 \cdot 49 \pmod{11}$.

Найдем остаток от деления 49 на 11: $49 = 4 \cdot 11 + 5$. Значит, $49 \equiv 5 \pmod{11}$.

Итак, $7^{2002} \equiv 5 \pmod{11}$.

Теперь сложим остатки для обоих слагаемых:

$a = 3^{2002} + 7^{2002} \equiv 9 + 5 \pmod{11} \equiv 14 \pmod{11}$.

Найдем остаток от деления 14 на 11: $14 = 1 \cdot 11 + 3$. Значит, $14 \equiv 3 \pmod{11}$.

Таким образом, остаток от деления числа $a$ на 11 равен 3.

Ответ: 3

249. Доказать, что натуральные числа $m$ и $n$ делятся на 3, если число $m^2 + n^2$ делятся на 3.

Для доказательства воспользуемся методом анализа остатков при делении на 3 (сравнениями по модулю 3). По условию задачи дано, что сумма $m^2 + n^2$ делится на 3. На языке сравнений это записывается как $m^2 + n^2 \equiv 0 \pmod{3}$.

Рассмотрим, какие остатки при делении на 3 может давать квадрат любого натурального числа k. Любое натуральное число при делении на 3 может давать остаток 0, 1 или 2.

- Если число k делится на 3 ($k \equiv 0 \pmod{3}$), то его квадрат $k^2$ также делится на 3. Например, $k=3q$, тогда $k^2 = (3q)^2 = 9q^2$. Остаток от деления на 3 равен 0. То есть, $k^2 \equiv 0 \pmod{3}$.
- Если число k дает остаток 1 при делении на 3 ($k \equiv 1 \pmod{3}$), то его квадрат $k^2$ также дает остаток 1. Например, $k=3q+1$, тогда $k^2 = (3q+1)^2 = 9q^2+6q+1 = 3(3q^2+2q)+1$. Остаток равен 1. То есть, $k^2 \equiv 1 \pmod{3}$.
- Если число k дает остаток 2 при делении на 3 ($k \equiv 2 \pmod{3}$), то его квадрат $k^2$ дает остаток 1. Например, $k=3q+2$, тогда $k^2 = (3q+2)^2 = 9q^2+12q+4 = 3(3q^2+4q+1)+1$. Остаток равен 1. То есть, $k^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}$.

Таким образом, квадрат любого натурального числа при делении на 3 может давать в остатке только 0 или 1. Следовательно, остатки от деления $m^2$ и $n^2$ на 3 могут быть только 0 или 1.

Теперь рассмотрим сумму остатков $m^2 + n^2$ при делении на 3. Возможны следующие варианты:
- Остаток($m^2$) = 0, Остаток($n^2$) = 0. Сумма остатков: $0 + 0 = 0$.
- Остаток($m^2$) = 0, Остаток($n^2$) = 1. Сумма остатков: $0 + 1 = 1$.
- Остаток($m^2$) = 1, Остаток($n^2$) = 0. Сумма остатков: $1 + 0 = 1$.
- Остаток($m^2$) = 1, Остаток($n^2$) = 1. Сумма остатков: $1 + 1 = 2$.

По условию задачи, сумма $m^2 + n^2$ делится на 3, значит, остаток от ее деления на 3 равен 0. Из всех перечисленных выше вариантов, это возможно только в первом случае, когда остатки от деления на 3 для $m^2$ и $n^2$ оба равны нулю. Это означает, что и $m^2$, и $n^2$ должны делиться на 3.

Из нашего первоначального анализа мы знаем, что квадрат числа $k^2$ делится на 3 тогда и только тогда, когда само число k делится на 3.

Следовательно, раз $m^2$ делится на 3, то и число m делится на 3. Аналогично, раз $n^2$ делится на 3, то и число n делится на 3.

Таким образом, мы доказали, что если $m^2 + n^2$ делится на 3, то и m, и n также делятся на 3. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если сумма квадратов двух натуральных чисел $m^2 + n^2$ делится на 3, то это возможно только в том случае, когда каждое из чисел, m и n, по отдельности делится на 3.

250. Пусть натуральные числа $a$, $b$ и $c$ не делятся на 3. Доказать, что число $a^2+b^2+c^2$ делится на 3.

Для решения этой задачи воспользуемся теорией сравнений по модулю.По условию, натуральные числа $a$, $b$ и $c$ не делятся на 3. Это означает, что при делении на 3 каждое из этих чисел может давать в остатке либо 1, либо 2. Любое натуральное число $n$, не кратное 3, можно представить в одной из двух форм: $n = 3k + 1$ или $n = 3k + 2$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число.Рассмотрим, какой остаток дает при делении на 3 квадрат натурального числа $n$, которое само не делится на 3.1. Если число $n$ при делении на 3 дает в остатке 1, то $n \equiv 1 \pmod{3}$.Возведем это сравнение в квадрат:$n^2 \equiv 1^2 \pmod{3}$$n^2 \equiv 1 \pmod{3}$Это означает, что квадрат такого числа при делении на 3 дает в остатке 1.2. Если число $n$ при делении на 3 дает в остатке 2, то $n \equiv 2 \pmod{3}$.Возведем это сравнение в квадрат:$n^2 \equiv 2^2 \pmod{3}$$n^2 \equiv 4 \pmod{3}$Поскольку $4$ при делении на $3$ дает в остатке $1$, то $4 \equiv 1 \pmod{3}$. Следовательно:$n^2 \equiv 1 \pmod{3}$И в этом случае квадрат числа при делении на 3 дает в остатке 1.Таким образом, мы доказали, что квадрат любого натурального числа, не делящегося на 3, при делении на 3 всегда дает в остатке 1.Поскольку по условию числа $a$, $b$ и $c$ не делятся на 3, для их квадратов справедливы следующие сравнения:$a^2 \equiv 1 \pmod{3}$$b^2 \equiv 1 \pmod{3}$$c^2 \equiv 1 \pmod{3}$Теперь найдем, с чем сравнима по модулю 3 сумма их квадратов $a^2 + b^2 + c^2$:$a^2 + b^2 + c^2 \equiv 1 + 1 + 1 \pmod{3}$$a^2 + b^2 + c^2 \equiv 3 \pmod{3}$$a^2 + b^2 + c^2 \equiv 0 \pmod{3}$Сравнение $a^2 + b^2 + c^2 \equiv 0 \pmod{3}$ означает, что число $a^2 + b^2 + c^2$ делится на 3 без остатка, что и требовалось доказать.

Ответ: Поскольку любое натуральное число, не кратное 3, при возведении в квадрат дает остаток 1 при делении на 3, то сумма $a^2 + b^2 + c^2$ будет давать остаток $1+1+1=3$ при делении на 3. А число, дающее остаток 3 при делении на 3, делится на 3 нацело.

251. Найти все целые $n$, при которых дробь $a = \frac{n^4 - n^3 + 2n^2}{n^2 + 1}$ будет целым числом.

Для того чтобы дробь $a = \frac{n^4 - n^3 + 2n^2}{n^2 + 1}$ была целым числом, необходимо, чтобы числитель делился на знаменатель нацело. Чтобы упростить выражение, выделим целую часть путем деления многочлена на многочлен (например, "уголком" или через преобразования).

Преобразуем числитель:

$n^4 - n^3 + 2n^2 = n^4 + n^2 - n^3 - n + n^2 + n = n^2(n^2+1) - n(n^2+1) + (n^2+1) - 1 + n$

Сгруппируем слагаемые:

$ (n^2(n^2+1) - n(n^2+1) + 1(n^2+1)) + (n-1) = (n^2-n+1)(n^2+1) + (n-1) $

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$a = \frac{(n^2-n+1)(n^2+1) + (n-1)}{n^2+1} = \frac{(n^2-n+1)(n^2+1)}{n^2+1} + \frac{n-1}{n^2+1}$

$a = n^2 - n + 1 + \frac{n-1}{n^2+1}$

Поскольку $n$ — целое число по условию, выражение $n^2 - n + 1$ также всегда будет целым числом. Следовательно, для того чтобы значение $a$ было целым, необходимо и достаточно, чтобы дробная часть $\frac{n-1}{n^2+1}$ также была целым числом.

Пусть $k = \frac{n-1}{n^2+1}$, где $k$ — целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Рассмотрим, при каких целых $n$ это возможно.

1. Если числитель $n-1=0$, то $n=1$. В этом случае $k = \frac{0}{1^2+1} = 0$, что является целым числом. Значит, $n=1$ — одно из решений.

2. Если $n \neq 1$, то для того, чтобы дробь была целым числом (отличным от нуля), модуль ее числителя должен быть не меньше модуля знаменателя.

$|n-1| \ge |n^2+1|$

Так как $n^2 \ge 0$, то знаменатель $n^2+1$ всегда положителен. Неравенство принимает вид:

$|n-1| \ge n^2+1$

Рассмотрим два случая раскрытия модуля:

а) $n-1 > 0$, то есть $n > 1$.
$n-1 \ge n^2+1$
$0 \ge n^2 - n + 2$
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $n^2 - n + 2$: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.
Поскольку $D < 0$ и старший коэффициент ($1$) положителен, парабола $y=n^2-n+2$ полностью лежит выше оси абсцисс, то есть $n^2 - n + 2 > 0$ при любых $n$. Следовательно, неравенство $0 \ge n^2 - n + 2$ не имеет решений.

б) $n-1 < 0$, то есть $n < 1$.
$|n-1| = -(n-1) = 1-n$.
$1-n \ge n^2+1$
$0 \ge n^2+n$
$n(n+1) \le 0$
Решением этого неравенства является промежуток $-1 \le n \le 0$. Поскольку $n$ — целое число, возможные значения: $n=-1$ и $n=0$.

Таким образом, мы нашли все возможные целые значения $n$: $-1, 0, 1$.

Проверим эти значения:
При $n=-1$: $a = \frac{(-1)^4 - (-1)^3 + 2(-1)^2}{(-1)^2+1} = \frac{1 - (-1) + 2}{1+1} = \frac{4}{2} = 2$. (Целое)
При $n=0$: $a = \frac{0-0+0}{0+1} = 0$. (Целое)
При $n=1$: $a = \frac{1^4 - 1^3 + 2(1^2)}{1^2+1} = \frac{1 - 1 + 2}{1+1} = \frac{2}{2} = 1$. (Целое)

Ответ: $-1, 0, 1$.