Страница 77 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

229. Выделить условие и заключение теоремы:

1) если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3;

2) каждый член арифметической прогрессии (начиная со второго) равен полусумме соседних с ним членов. $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$. Сформулировать теорему, обратную данной.

1) Рассмотрим теорему: «если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3».

Эта теорема уже сформулирована в виде «если А, то В», где А — это условие, а В — заключение.

• Условие (А): сумма цифр числа делится на 3.
• Заключение (В): само число делится на 3.

Теорема, обратная данной, строится по схеме «если В, то А».

Обратная теорема: если число делится на 3, то и сумма его цифр делится на 3. (Эта обратная теорема также является верной).

Ответ: Условие: «сумма цифр числа делится на 3». Заключение: «само число делится на 3». Обратная теорема: «если число делится на 3, то сумма его цифр делится на 3».

2) Рассмотрим теорему: «каждый член арифметической прогрессии (начиная со второго) равен полусумме соседних с ним членов».

Для того чтобы выделить условие и заключение, переформулируем эту теорему в стандартную форму «если А, то В».

«Если числовая последовательность является арифметической прогрессией, то каждый ее член (начиная со второго) равен полусумме соседних с ним членов».

• Условие (А): числовая последовательность является арифметической прогрессией.
• Заключение (В): каждый член последовательности (начиная со второго) равен полусумме соседних с ним членов. Если обозначить члены последовательности как $a_n$, то заключение можно записать формулой: $a_k = \frac{a_{k-1} + a_{k+1}}{2}$ для всех $k \ge 2$.

Теорема, обратная данной, строится по схеме «если В, то А».

Обратная теорема: если в числовой последовательности каждый член (начиная со второго) равен полусумме соседних с ним членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией. (Эта обратная теорема также является верной, так как из условия $a_k = \frac{a_{k-1} + a_{k+1}}{2}$ следует, что $a_{k+1} - a_k = a_k - a_{k-1}$, что является определением арифметической прогрессии).

Ответ: Условие: «числовая последовательность является арифметической прогрессией». Заключение: «каждый член последовательности (начиная со второго) равен полусумме соседних с ним членов», то есть $a_k = \frac{a_{k-1} + a_{k+1}}{2}$ для $k \ge 2$. Обратная теорема: «если в числовой последовательности каждый член, начиная со второго, равен полусумме соседних с ним членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией».

230. Сформулировать теорему, обратную теореме:

1) сумма противоположных углов четырёхугольника, вписанного в окружность, равна $180^\circ$;

2) если две параллельные прямые пересечены третьей, то образовавшиеся накрест лежащие углы равны;

3) около любого прямоугольника можно описать окружность.

Установить, истинной или ложной является каждая из сформулированных теорем.

1) Исходная теорема: Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна $180^\circ$.

Чтобы сформулировать обратную теорему, нужно поменять местами условие (четырехугольник вписан в окружность) и заключение (сумма его противоположных углов равна $180^\circ$).

Формулировка обратной теоремы: Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180^\circ$, то около этого четырехугольника можно описать окружность.

Проверка истинности: Эта теорема является признаком вписанного четырехугольника. Она верна. Если в выпуклом четырехугольнике сумма одной пары противоположных углов равна $180^\circ$, то и сумма другой пары тоже равна $180^\circ$ (так как сумма всех углов четырехугольника $360^\circ$), и вокруг такого четырехугольника действительно можно описать окружность. Утверждение истинно.

Ответ: Обратная теорема: "Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180^\circ$, то около него можно описать окружность". Теорема истинна.

2) Исходная теорема: Если две параллельные прямые пересечены третьей, то образовавшиеся накрест лежащие углы равны.

Меняем местами условие (две прямые параллельны) и заключение (накрест лежащие углы равны).

Формулировка обратной теоремы: Если при пересечении двух прямых третьей (секущей) накрест лежащие углы равны, то эти две прямые параллельны.

Проверка истинности: Это утверждение является одним из основных признаков параллельности прямых. Оно истинно.

Ответ: Обратная теорема: "Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны". Теорема истинна.

3) Исходная теорема: Около любого прямоугольника можно описать окружность.

В форме "если..., то...": Если четырехугольник является прямоугольником, то около него можно описать окружность. Меняем местами условие и заключение.

Формулировка обратной теоремы: Если около четырехугольника можно описать окружность, то этот четырехугольник является прямоугольником.

Проверка истинности: Это утверждение ложно. Четырехугольник, вписанный в окружность, не обязательно является прямоугольником. Например, в окружность можно вписать любую равнобедренную трапецию, которая не является прямоугольником (ее углы не равны $90^\circ$). Так как существует хотя бы один контрпример, утверждение считается ложным.

Ответ: Обратная теорема: "Если около четырехугольника можно описать окружность, то он является прямоугольником". Теорема ложна.

231. Заменить многоточие словами «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно» таким образом, чтобы полученное утверждение было истинным:

1) чтобы хорошо ответить на уроке, ... прийти в школу;

2) для того чтобы сумма двух натуральных чисел делилась на 2, ... , чтобы эти числа были чётными;

3) для того чтобы число делилось на 9, ... , чтобы сумма его цифр делилась на 9;

4) для того чтобы числа $x_1$ и $x_2$ были корнями уравнения $x^2 + px + q = 0$, ... , чтобы $x_1 \cdot x_2 = q$.

1) Чтобы хорошо ответить на уроке, необходимо прийти в школу.
Разъяснение: Приход в школу — это обязательное, то есть необходимое условие для того, чтобы ответить на уроке. Нельзя ответить на уроке, не присутствуя на нём. Однако это условие не является достаточным, так как можно прийти в школу, но быть не готовым к ответу или просто не быть вызванным учителем. Таким образом, условие является необходимым, но не достаточным.
Ответ: необходимо.

2) Для того чтобы сумма двух натуральных чисел делилась на 2, достаточно, чтобы эти числа были чётными.
Разъяснение: Если оба числа чётные, то их можно представить в виде $2k$ и $2m$. Их сумма $2k + 2m = 2(k+m)$ всегда делится на 2. Следовательно, это условие является достаточным. Однако оно не является необходимым, потому что сумма двух нечётных чисел (например, $3+5=8$) тоже делится на 2. Таким образом, условие является достаточным, но не необходимым.
Ответ: достаточно.

3) Для того чтобы число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9.
Разъяснение: Это точная формулировка признака делимости на 9. Он работает в обе стороны:

• Если число делится на 9, то сумма его цифр обязательно делится на 9 (условие необходимо).
• Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число обязательно делится на 9 (условие достаточно).

Поскольку условие является и необходимым, и достаточным, используется соответствующая формулировка.
Ответ: необходимо и достаточно.

4) Для того чтобы числа $x_1$ и $x_2$ были корнями уравнения $x^2 + px + q = 0$, необходимо, чтобы $x_1 \cdot x_2 = q$.
Разъяснение: Согласно теореме Виета, для того чтобы числа $x_1$ и $x_2$ были корнями приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$, должны выполняться два равенства: $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$. Выполнение условия $x_1 \cdot x_2 = q$ является необходимым, так как оно следует из того, что $x_1$ и $x_2$ — корни. Однако одного этого условия недостаточно, так как должно выполняться и второе равенство. Например, для уравнения $x^2 - 7x + 10 = 0$, где $q=10$, корнями являются числа 2 и 5. Их произведение равно 10. Но если мы возьмем числа 1 и 10, их произведение тоже равно 10, но они не являются корнями данного уравнения.
Ответ: необходимо.

232. Привести контрпример, опровергающий утверждение:

1) в любой четырёхугольник можно вписать окружность;

2) для любого треугольника сумма квадратов двух его сторон равна квадрату третьей стороны;

3) сумма чисел с разными знаками есть число отрицательное;

4) в равнобедренном треугольнике один угол тупой.

1) в любой четырёхугольник можно вписать окружность

Данное утверждение неверно. Для того чтобы в выпуклый четырёхугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противолежащих сторон были равны (теорема Пито). То есть для четырёхугольника со сторонами $a, b, c, d$ должно выполняться равенство $a+c = b+d$.

В качестве контрпримера рассмотрим прямоугольник, который не является квадратом. Пусть его смежные стороны равны 3 и 5. Тогда длины его сторон последовательно равны 3, 5, 3, 5. Найдём суммы противолежащих сторон: $3 + 3 = 6$ $5 + 5 = 10$

Поскольку $6 \neq 10$, условие для вписанной окружности не выполняется.

Ответ: Прямоугольник со сторонами 3 и 5, так как суммы его противоположных сторон не равны ($3+3 \neq 5+5$).

2) для любого треугольника сумма квадратов двух его сторон равна квадрату третьей стороны

Это утверждение является формулировкой теоремы Пифагора, которая справедлива только для прямоугольных треугольников. В общем случае для произвольного треугольника эта формула не работает.

В качестве контрпримера возьмём равносторонний треугольник со стороной $a=4$. Для него все стороны равны. Проверим, выполняется ли утверждение: $a^2 + a^2 = a^2$ $4^2 + 4^2 = 4^2$ $16 + 16 = 16$ $32 = 16$

Полученное равенство неверно. Следовательно, утверждение опровергнуто.

Ответ: Равносторонний треугольник со стороной 4, так как для него $4^2+4^2 \neq 4^2$.

3) сумма чисел с разными знаками есть число отрицательное

Утверждение неверно. Знак суммы двух чисел с разными знаками зависит от того, модуль какого из слагаемых больше. Если модуль положительного числа больше модуля отрицательного, то и сумма будет положительной.

Рассмотрим в качестве контрпримера сумму чисел 5 и -2. Это числа с разными знаками. $5 + (-2) = 5 - 2 = 3$

Результат равен 3, что является положительным числом.

Ответ: Сумма чисел 5 и -2 равна 3, что является положительным числом.

4) в равнобедренном треугольнике один угол тупой

Утверждение неверно. Равнобедренный треугольник может быть не только тупоугольным, но и прямоугольным или остроугольным. Тупым называется угол, градусная мера которого больше $90^\circ$.

Контрпримером служит любой равносторонний треугольник. Он является частным случаем равнобедренного (у него равны не две, а все три стороны). Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. $60^\circ \lt 90^\circ$, то есть все углы являются острыми.

Другой контрпример — равнобедренный прямоугольный треугольник, углы которого равны $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$. Ни один из углов не является тупым.

Ответ: Равносторонний треугольник, все углы которого равны $60^\circ$.

233. Доказать или опровергнуть высказывание:

1) сумма двух последовательных натуральных чисел есть число чётное;

2) сумма трёх последовательных натуральных чисел делится на 3.

1) сумма двух последовательных натуральных чисел есть число чётное

Данное высказывание является ложным. Чтобы его опровергнуть, достаточно привести один контрпример.

Возьмём два любых последовательных натуральных числа, например, 1 и 2. Их сумма равна:

$1 + 2 = 3$

Число 3 является нечётным, что противоречит утверждению.

Докажем это в общем виде. Пусть $n$ – произвольное натуральное число ($n \in \mathbb{N}$). Тогда следующее за ним натуральное число – это $n + 1$.

Найдем их сумму $S$:

$S = n + (n + 1) = 2n + 1$

Чётное число имеет общую формулу $2k$, где $k$ – целое число. Нечётное число имеет формулу $2k + 1$. Выражение $2n$ всегда будет чётным, поскольку оно является произведением числа 2 и натурального числа $n$. Сумма чётного числа ($2n$) и единицы ($1$) всегда является нечётным числом. Следовательно, сумма двух последовательных натуральных чисел всегда нечётна.

Ответ: высказывание неверно (опровергнуто).

2) сумма трёх последовательных натуральных чисел делится на 3

Данное высказывание является истинным. Докажем это для любого набора из трёх последовательных натуральных чисел.

Пусть $n$ – первое из трёх последовательных натуральных чисел ($n \in \mathbb{N}$). Тогда следующие два числа будут $n + 1$ и $n + 2$.

Найдём их сумму $S$:

$S = n + (n + 1) + (n + 2)$

Упростим выражение, приведя подобные слагаемые:

$S = 3n + 3$

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$S = 3(n + 1)$

Поскольку $n$ – натуральное число, то $n + 1$ также является натуральным числом (а значит и целым). Полученное выражение для суммы $S$ представляет собой произведение числа 3 и целого числа $(n + 1)$. По определению, если число можно представить в виде произведения тройки и другого целого числа, оно делится на 3 нацело.

Например, для чисел 4, 5, 6 их сумма равна $4 + 5 + 6 = 15$. Число 15 делится на 3 ($15 = 3 \times 5$).

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: высказывание верно (доказано).

234. Задана функция $y = kx + b$. При каких значениях $k$ истинно предложение:

1) «При любом $b$ графиком функции является прямая»;

2) «При любом $b \neq 0$ график функции параллелен оси $Ox$»;

3) «Существует $b$, при котором график функции совпадает с осью абсцисс»;

4) «Существует $b$, при котором график функции проходит через начало координат»?

Дана функция $y = kx + b$. Проанализируем каждое предложение, чтобы определить, при каких значениях $k$ оно будет истинным.

1) «При любом b графиком функции является прямая»

Уравнение $y = kx + b$ является уравнением линейной функции. Графиком любой линейной функции является прямая. Это определение не зависит от конкретных значений коэффициентов $k$ (угловой коэффициент) и $b$ (свободный член), пока они являются действительными числами. Следовательно, данное утверждение верно при любом значении $k$.
Ответ: при любом $k$.

2) «При любом b ≠ 0 график функции параллелен оси Ox»

График функции параллелен оси абсцисс (оси $Ox$), если он является горизонтальной прямой. Уравнение горизонтальной прямой имеет вид $y = c$, где $c$ – константа. Это означает, что значение $y$ не зависит от $x$. В уравнении $y = kx + b$ это возможно только в том случае, если коэффициент при $x$ равен нулю, то есть $k=0$.
Если $k=0$, функция принимает вид $y = b$. При любом значении $b \neq 0$ график этой функции (например, $y=2$ или $y=-5$) будет представлять собой прямую, параллельную оси $Ox$ и не совпадающую с ней. Если же $k \neq 0$, то график функции будет наклонной прямой, которая не параллельна оси $Ox$.
Следовательно, утверждение истинно только при $k=0$.
Ответ: $k=0$.

3) «Существует b, при котором график функции совпадает с осью абсцисс»

Ось абсцисс (ось $Ox$) задается уравнением $y=0$. Чтобы график функции $y = kx + b$ совпадал с осью абсцисс, необходимо, чтобы уравнение $kx + b = 0$ выполнялось для всех значений $x$.
Это тождество возможно только в том случае, когда оба коэффициента равны нулю: $k=0$ и $b=0$.
Условие гласит, что должен существовать такой $b$. Мы видим, что такой $b$ существует (это $b=0$), но только при условии, что $k$ также равен нулю. Если $k \neq 0$, то уравнение $kx+b=0$ имеет единственное решение $x = -b/k$, и график является наклонной прямой, пересекающей ось $Ox$ в одной точке, а не совпадающей с ней.
Следовательно, утверждение истинно только при $k=0$.
Ответ: $k=0$.

4) «Существует b, при котором график функции проходит через начало координат»?

Начало координат — это точка с координатами $(0, 0)$. Чтобы график функции $y = kx + b$ проходил через эту точку, её координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим $x=0$ и $y=0$ в уравнение:
$0 = k \cdot 0 + b$
$0 = 0 + b$
$b = 0$
Таким образом, если выбрать $b=0$, то функция примет вид $y = kx$. График этой функции всегда проходит через начало координат при любом значении коэффициента $k$. Так как условие требует лишь существования такого $b$ (и мы его нашли, $b=0$), то исходное утверждение верно для любого значения $k$.
Ответ: при любом $k$.