Страница 70 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

219. Пусть $D_1$ — множество всех квадратов, $D_2$ — множество всех прямоугольников, $D_3$ — множество всех ромбов, $D_4$ — множество всех параллелограммов. Найти множества:

1) $D_1 \cap D_2$;

2) $D_1 \cup D_2$;

3) $D_2 \cap D_3$;

4) $D_3 \cap D_4$;

5) $D_3 \cup D_4$;

6) $D_2 \cup D_1 \cup D_3 \cup D_4$;

7) $D_4 \cap D_3 \cap D_2 \cap D_1$.

Для решения задачи сначала определим взаимосвязи между заданными множествами геометрических фигур:

• $D_1$ — множество всех квадратов.
• $D_2$ — множество всех прямоугольников.
• $D_3$ — множество всех ромбов.
• $D_4$ — множество всех параллелограммов.

Исходя из определений этих фигур в геометрии, можно установить следующие отношения включения:

• Каждый квадрат является частным случаем прямоугольника (прямоугольник с равными сторонами), поэтому множество квадратов является подмножеством множества прямоугольников: $D_1 \subset D_2$.
• Каждый квадрат является частным случаем ромба (ромб с прямыми углами), поэтому множество квадратов является подмножеством множества ромбов: $D_1 \subset D_3$.
• Каждый прямоугольник является параллелограммом (с прямыми углами), поэтому $D_2 \subset D_4$.
• Каждый ромб является параллелограммом (с равными сторонами), поэтому $D_3 \subset D_4$.
• Фигура, являющаяся одновременно и прямоугольником, и ромбом, по определению есть квадрат. Следовательно, пересечение множеств прямоугольников и ромбов есть множество квадратов: $D_1 = D_2 \cap D_3$.

Теперь найдем требуемые множества.

1) $D_1 \cap D_2$

Пересечение множеств $D_1$ (квадраты) и $D_2$ (прямоугольники) содержит элементы, которые принадлежат обоим множествам. То есть, это фигуры, которые являются и квадратами, и прямоугольниками. Поскольку любой квадрат по определению является прямоугольником, все элементы множества $D_1$ содержатся в множестве $D_2$ ($D_1 \subset D_2$). Пересечением множества и его подмножества является само подмножество.

Ответ: $D_1$ (множество всех квадратов).

2) $D_1 \cup D_2$

Объединение множеств $D_1$ (квадраты) и $D_2$ (прямоугольники) содержит элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Так как множество квадратов является подмножеством множества прямоугольников ($D_1 \subset D_2$), их объединение будет равно большему множеству, то есть множеству всех прямоугольников.

Ответ: $D_2$ (множество всех прямоугольников).

3) $D_2 \cap D_3$

Пересечение множеств $D_2$ (прямоугольники) и $D_3$ (ромбы) содержит фигуры, которые являются одновременно и прямоугольниками (все углы прямые), и ромбами (все стороны равны). Такая фигура по определению является квадратом. Следовательно, пересечение этих множеств есть множество всех квадратов.

Ответ: $D_1$ (множество всех квадратов).

4) $D_3 \cap D_4$

Пересечение множеств $D_3$ (ромбы) и $D_4$ (параллелограммы) содержит фигуры, которые являются и ромбами, и параллелограммами. По определению, каждый ромб является параллелограммом. Таким образом, множество ромбов является подмножеством множества параллелограммов ($D_3 \subset D_4$). Их пересечение будет равно подмножеству.

Ответ: $D_3$ (множество всех ромбов).

5) $D_3 \cup D_4$

Объединение множеств $D_3$ (ромбы) и $D_4$ (параллелограммы) содержит фигуры, которые являются либо ромбами, либо параллелограммами. Поскольку любой ромб — это параллелограмм ($D_3 \subset D_4$), объединение этих множеств будет равно большему из них, то есть множеству всех параллелограммов.

Ответ: $D_4$ (множество всех параллелограммов).

6) $D_2 \cup D_1 \cup D_3 \cup D_4$

Требуется найти объединение всех четырех множеств. Мы установили, что $D_1 \subset D_2 \subset D_4$ и $D_1 \subset D_3 \subset D_4$. Это означает, что множества $D_1$, $D_2$ и $D_3$ являются подмножествами множества $D_4$. При объединении множества с его подмножествами результатом является само это (наибольшее) множество.

Ответ: $D_4$ (множество всех параллелограммов).

7) $D_4 \cap D_3 \cap D_2 \cap D_1$

Требуется найти пересечение всех четырех множеств. Это множество фигур, которые одновременно являются параллелограммами, ромбами, прямоугольниками и квадратами. Поскольку множество квадратов $D_1$ является подмножеством всех остальных множеств ($D_1 \subset D_2$, $D_1 \subset D_3$, $D_1 \subset D_4$), то пересечением всех этих множеств будет самое маленькое (наиболее частное) из них, то есть множество квадратов.

Ответ: $D_1$ (множество всех квадратов).

220. Оформить решение уравнения, используя символику теории множеств:

1) $(x^2 - 16)(25 - x^2) = 0$;

2) $(x^3 - 1)(x^2 + x + 3) = 0.$

1) Решим уравнение $(x^2 - 16)(25 - x^2) = 0$.
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
$x^2 - 16 = 0$ или $25 - x^2 = 0$.
В терминах теории множеств, множество корней исходного уравнения $X$ является объединением множеств корней $A$ уравнения $x^2 - 16 = 0$ и множества корней $B$ уравнения $25 - x^2 = 0$. То есть, $X = A \cup B$.
Найдем множество $A$:
$x^2 - 16 = 0$
$x^2 = 16$
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$
Следовательно, $A = \{-4, 4\}$.
Найдем множество $B$:
$25 - x^2 = 0$
$x^2 = 25$
$x_3 = 5$, $x_4 = -5$
Следовательно, $B = \{-5, 5\}$.
Теперь найдем объединение этих множеств:
$X = A \cup B = \{-4, 4\} \cup \{-5, 5\} = \{-5, -4, 4, 5\}$.
Ответ: $\{-5, -4, 4, 5\}$.

2) Решим уравнение $(x^3 - 1)(x^2 + x + 3) = 0$.
Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
$x^3 - 1 = 0$ или $x^2 + x + 3 = 0$.
Пусть $C$ - множество корней уравнения $x^3 - 1 = 0$, а $D$ - множество корней уравнения $x^2 + x + 3 = 0$. Тогда множество корней исходного уравнения есть $Y = C \cup D$.
Найдем множество $C$:
$x^3 - 1 = 0$
$x^3 = 1$
$x = 1$
Следовательно, $C = \{1\}$.
Найдем множество $D$ для уравнения $x^2 + x + 3 = 0$. Это квадратное уравнение, найдем его дискриминант:
$D_{disc} = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$.
Так как дискриминант $D_{disc} < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, множество его решений пусто: $D = \emptyset$.
Найдем объединение множеств $C$ и $D$:
$Y = C \cup D = \{1\} \cup \emptyset = \{1\}$.
Ответ: $\{1\}$.

221. Оформить решение неравенства, используя символику теории множеств:

1) $(x+3)(2x-1) > 0$;

2) $(3x+2)(x-4) < 0$.

1) $(x+3)(2x-1) > 0$

Произведение двух выражений больше нуля тогда и только тогда, когда оба выражения имеют одинаковый знак (оба положительны или оба отрицательны). Данное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств. Множество решений исходного неравенства будет объединением множеств решений этих систем.

$ \left[ \begin{gathered} \begin{cases} x+3 > 0 \\ 2x-1 > 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x+3 < 0 \\ 2x-1 < 0 \end{cases} \end{gathered} \right. $

Рассмотрим первую систему:

$ \begin{cases} x > -3 \\ 2x > 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > -3 \\ x > 1/2 \end{cases} $

Решением этой системы является пересечение множеств $\{x \mid x > -3\}$ и $\{x \mid x > 1/2\}$. Результатом является множество $\{x \mid x > 1/2\}$, которое можно записать в виде интервала $(1/2, +\infty)$.

Рассмотрим вторую систему:

$ \begin{cases} x < -3 \\ 2x < 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x < -3 \\ x < 1/2 \end{cases} $

Решением этой системы является пересечение множеств $\{x \mid x < -3\}$ и $\{x \mid x < 1/2\}$. Результатом является множество $\{x \mid x < -3\}$, которое можно записать в виде интервала $(-\infty, -3)$.

Итоговое множество решений исходного неравенства есть объединение множеств, полученных при решении двух систем:

$(-\infty, -3) \cup (1/2, +\infty)$

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (1/2, +\infty)$.

2) $(3x+2)(x-4) < 0$

Произведение двух выражений меньше нуля тогда и только тогда, когда выражения имеют разные знаки. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств. Множество решений исходного неравенства будет объединением множеств решений этих систем.

$ \left[ \begin{gathered} \begin{cases} 3x+2 > 0 \\ x-4 < 0 \end{cases} \\ \begin{cases} 3x+2 < 0 \\ x-4 > 0 \end{cases} \end{gathered} \right. $

Рассмотрим первую систему:

$ \begin{cases} 3x > -2 \\ x < 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > -2/3 \\ x < 4 \end{cases} $

Решением этой системы является пересечение множеств $\{x \mid x > -2/3\}$ и $\{x \mid x < 4\}$. Результатом является множество $\{x \mid -2/3 < x < 4\}$, которое можно записать в виде интервала $(-2/3, 4)$.

Рассмотрим вторую систему:

$ \begin{cases} 3x < -2 \\ x > 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x < -2/3 \\ x > 4 \end{cases} $

Пересечение множеств $\{x \mid x < -2/3\}$ и $\{x \mid x > 4\}$ является пустым множеством $\emptyset$, так как не существует числа, которое одновременно меньше $-2/3$ и больше $4$.

Итоговое множество решений исходного неравенства есть объединение множеств, полученных при решении двух систем:

$(-2/3, 4) \cup \emptyset = (-2/3, 4)$

Ответ: $x \in (-2/3, 4)$.

222. Решить совокупность уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + 4x + 4 = 0, \\ 2x^2 - x - 1 = 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} |x - 3| = 2, \\ x^2 - 7x + 10 = 0. \end{cases}$

1)

Чтобы решить совокупность уравнений, нужно найти все корни каждого уравнения и объединить их в одно множество. Решим каждое уравнение по отдельности.

Первое уравнение: $x^2 + 4x + 4 = 0$.

Это выражение является полным квадратом: $(x+2)^2 = 0$.

Отсюда следует, что $x+2 = 0$, то есть $x = -2$.

Второе уравнение: $2x^2 - x - 1 = 0$.

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни уравнения равны:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4}$.

$x_1 = \frac{1+3}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

$x_2 = \frac{1-3}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5$.

Объединяем все найденные корни: $\{-2, 1, -0,5\}$.

Ответ: $x \in \{-2; -0,5; 1\}$.

2)

Решим каждое уравнение из совокупности и объединим их решения.

Первое уравнение: $|x - 3| = 2$.

Это уравнение распадается на два случая:

1) $x - 3 = 2 \implies x = 5$.

2) $x - 3 = -2 \implies x = 1$.

Корни первого уравнения: $\{1, 5\}$.

Второе уравнение: $x^2 - 7x + 10 = 0$.

Это квадратное уравнение. Найдем его корни. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 7, а их произведение равно 10. Отсюда корни $x=2$ и $x=5$.

Либо решим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 3}{2}$.

$x_1 = \frac{7+3}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

$x_2 = \frac{7-3}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Корни второго уравнения: $\{2, 5\}$.

Объединяем множества корней первого и второго уравнений: $\{1, 5\} \cup \{2, 5\} = \{1, 2, 5\}$.

Ответ: $x \in \{1; 2; 5\}$.

223. Решить совокупность неравенств:

1) $\left[ \begin{array}{l} x^2 - 49 < 0, \\ 9 - x^2 \ge 0; \end{array} \right.$

2) $\left[ \begin{array}{l} 2x - 5 \ge x + 1, \\ x^2 - 9x + 14 < 0. \end{array} \right.$

1)

Решим каждое неравенство данной совокупности по отдельности. Решением совокупности является объединение решений этих неравенств.

Решим первое неравенство: $x^2 - 49 < 0$.
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x - 7)(x + 7) < 0$.
Корнями уравнения $(x - 7)(x + 7) = 0$ являются $x_1 = -7$ и $x_2 = 7$.
Графиком функции $y = x^2 - 49$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции отрицательны на интервале между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-7, 7)$.

Решим второе неравенство: $9 - x^2 \ge 0$.
Перепишем его в виде $x^2 - 9 \le 0$.
Разложим левую часть на множители: $(x - 3)(x + 3) \le 0$.
Корнями уравнения $(x - 3)(x + 3) = 0$ являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.
Графиком функции $y = x^2 - 9$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, значения функции не положительны на отрезке между корнями (включая сами корни).
Решение второго неравенства: $x \in [-3, 3]$.

Теперь найдем объединение множеств решений обоих неравенств: $(-7, 7) \cup [-3, 3]$.
Так как отрезок $[-3, 3]$ полностью содержится внутри интервала $(-7, 7)$, их объединение равно большему из этих множеств, то есть интервалу $(-7, 7)$.

Ответ: $x \in (-7, 7)$.

2)

Решим каждое неравенство данной совокупности по отдельности. Решением совокупности является объединение решений этих неравенств.

Решим первое неравенство: $2x - 5 \ge x + 1$.
Это линейное неравенство. Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а постоянные члены — в правую:
$2x - x \ge 1 + 5$
$x \ge 6$
Решение первого неравенства: $x \in [6, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 9x + 14 < 0$.
Это квадратичное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 9x + 14 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 9, а их произведение равно 14. Отсюда находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 7$.
Неравенство можно записать в виде $(x - 2)(x - 7) < 0$.
Графиком функции $y = x^2 - 9x + 14$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, значения функции отрицательны на интервале между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in (2, 7)$.

Теперь найдем объединение множеств решений обоих неравенств: $[6, +\infty) \cup (2, 7)$.
Объединение этих множеств включает все числа, которые принадлежат хотя бы одному из них. Множество $(2, 7)$ покрывает интервал от 2 до 7. Множество $[6, +\infty)$ покрывает интервал от 6 до бесконечности. Вместе они покрывают интервал от 2 до бесконечности, не включая 2.
Итоговое решение: $x \in (2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (2, +\infty)$.