Страница 63 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

194. Найти моду выборки $25, 40, 25, 40, 31, 40$.

Мода — это значение в наборе данных (выборке), которое встречается чаще всего. Чтобы найти моду, необходимо определить частоту появления каждого элемента в выборке.

Дана выборка: 25, 40, 25, 40, 31, 40.

Проанализируем частоту появления каждого числа:

Число 25 встречается 2 раза.
Число 40 встречается 3 раза.
Число 31 встречается 1 раз.

Сравнивая частоты, мы видим, что число 40 появляется в выборке наибольшее количество раз (3 раза).

Следовательно, модой данной выборки является число 40.

Ответ: 40.

195. Найти медиану выборки, предварительно упорядочив её:

1) 13, 21, 6, 4, 11;

2) 1, 12, 8, 3, 10, 2.

1) Для нахождения медианы выборки 13, 21, 6, 4, 11 сначала необходимо её упорядочить. Упорядочиванием (сортировкой) называется расстановка элементов в порядке возрастания или убывания. В данном случае, упорядочим по возрастанию.
Исходная выборка: 13, 21, 6, 4, 11.
Упорядоченная выборка: 4, 6, 11, 13, 21.
Количество элементов в выборке $n = 5$. Так как количество элементов нечетное, медиана — это число, которое находится ровно посередине упорядоченного ряда. Номер этого элемента можно найти по формуле $ \frac{n+1}{2} $.
В данном случае позиция медианы: $ \frac{5+1}{2} = 3 $.
Третьим элементом в упорядоченном ряду является число 11.
Ответ: 11.

2) Рассмотрим выборку 1, 12, 8, 3, 10, 2.
Сначала упорядочим её по возрастанию.
Исходная выборка: 1, 12, 8, 3, 10, 2.
Упорядоченная выборка: 1, 2, 3, 8, 10, 12.
Количество элементов в выборке $n = 6$. Так как количество элементов четное, медиана равна среднему арифметическому двух чисел, стоящих в середине упорядоченного ряда. Номера этих элементов — $ \frac{n}{2} $ и $ \frac{n}{2} + 1 $.
В данном случае это $ \frac{6}{2} = 3 $-й и $ \frac{6}{2} + 1 = 4 $-й элементы.
Третий элемент ряда равен 3, а четвертый — 8.
Найдем их среднее арифметическое: $ \frac{3 + 8}{2} = \frac{11}{2} = 5,5 $.
Ответ: 5,5.

196. Найти среднее значение выборки 1, 3, 6, 1, 5, 4, 8, 3.

Среднее значение выборки (также известное как среднее арифметическое) — это сумма всех элементов выборки, деленная на их количество.

Дана выборка чисел: 1, 3, 6, 1, 5, 4, 8, 3.

Шаг 1: Подсчет количества элементов в выборке.
В данной выборке 8 элементов. Обозначим это количество как $n$: $n = 8$

Шаг 2: Нахождение суммы всех элементов выборки.
Сложим все числа из выборки: $1 + 3 + 6 + 1 + 5 + 4 + 8 + 3 = 31$

Шаг 3: Вычисление среднего значения.
Разделим полученную сумму на количество элементов: $\text{Среднее значение} = \frac{\text{Сумма элементов}}{\text{Количество элементов}} = \frac{31}{8}$

Выполним деление, чтобы получить окончательный результат: $\frac{31}{8} = 3.875$

Ответ: 3,875.

197. Найти размах выборки 0,8, 0,2, 1,3, 0,9, 1,1, 1,5.

Размах выборки – это разность между наибольшим и наименьшим значениями данной выборки.

Дана выборка чисел: 0,8; 0,2; 1,3; 0,9; 1,1; 1,5.

1. Найдем наибольшее значение в этой выборке. Сравнивая все числа, определяем, что наибольшее значение равно $1,5$.

2. Найдем наименьшее значение в выборке. Наименьшим значением является $0,2$.

3. Теперь вычислим размах как разность между наибольшим и наименьшим значениями:

$1,5 - 0,2 = 1,3$.

Ответ: 1,3.

198. Найти моду, медиану, среднее, размах выборки и относительную частоту каждого значения элементов выборки, представленных в частотной таблице:

Значение $X$: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Частота $M$: 1, 3, 4, 7, 6, 5, 2, 1

Для начала найдем общий объем выборки (общее количество элементов), сложив все частоты $M$:
$ N = 1 + 3 + 4 + 7 + 6 + 5 + 2 + 1 = 29 $

Мода
Мода выборки — это значение, которое встречается в выборке наиболее часто. Чтобы найти моду, нужно найти наибольшее значение в строке "Частота М".
Наибольшая частота в таблице равна 7. Этой частоте соответствует значение $X = 6$.
Ответ: 6.

Медиана
Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда данных. Так как объем выборки $N = 29$ (нечетное число), медиана будет находиться на позиции с номером $(N + 1) / 2$.
Номер медианного элемента: $(29 + 1) / 2 = 15$.
Теперь найдем, какому значению $X$ соответствует 15-й элемент выборки. Для этого будем последовательно накапливать частоты:
- Значение 3: 1 элемент (занимает 1-е место).
- Значение 4: 3 элемента (занимают места с 2-го по 4-е, так как $1+3=4$).
- Значение 5: 4 элемента (занимают места с 5-го по 8-е, так как $4+4=8$).
- Значение 6: 7 элементов (занимают места с 9-го по 15-е, так как $8+7=15$).
Таким образом, 15-й элемент в упорядоченной выборке равен 6.
Ответ: 6.

Среднее
Среднее значение выборки (или среднее арифметическое) вычисляется по формуле: $ \bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{k} X_i M_i}{N} $, где $X_i$ — значение, $M_i$ — его частота, $N$ — объем выборки.
Вычислим сумму произведений значений на их частоты:
$ \sum X_i M_i = (3 \cdot 1) + (4 \cdot 3) + (5 \cdot 4) + (6 \cdot 7) + (7 \cdot 6) + (8 \cdot 5) + (9 \cdot 2) + (10 \cdot 1) $
$ \sum X_i M_i = 3 + 12 + 20 + 42 + 42 + 40 + 18 + 10 = 187 $
Теперь разделим эту сумму на объем выборки $N=29$:
$ \bar{X} = \frac{187}{29} \approx 6.448 $
Ответ: $ \frac{187}{29} \approx 6.45 $.

Размах выборки
Размах выборки — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в выборке.
Наибольшее значение $X_{max} = 10$.
Наименьшее значение $X_{min} = 3$.
Размах $R = X_{max} - X_{min} = 10 - 3 = 7$.
Ответ: 7.

Относительная частота каждого значения
Относительная частота вычисляется по формуле $ W = \frac{M}{N} $, где $M$ — частота значения, а $N$ — общий объем выборки ($N=29$).
- Для значения X=3: $ W_3 = \frac{1}{29} $
- Для значения X=4: $ W_4 = \frac{3}{29} $
- Для значения X=5: $ W_5 = \frac{4}{29} $
- Для значения X=6: $ W_6 = \frac{7}{29} $
- Для значения X=7: $ W_7 = \frac{6}{29} $
- Для значения X=8: $ W_8 = \frac{5}{29} $
- Для значения X=9: $ W_9 = \frac{2}{29} $
- Для значения X=10: $ W_{10} = \frac{1}{29} $
Ответ: Относительные частоты для значений 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 равны соответственно $ \frac{1}{29}, \frac{3}{29}, \frac{4}{29}, \frac{7}{29}, \frac{6}{29}, \frac{5}{29}, \frac{2}{29}, \frac{1}{29} $.

199. Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение элементов выборки:

1) 1, 2, 4, 5;

2) 2, 2, 3, 4, 4, 6.

Для решения задачи необходимо найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение для двух выборок. Напомним основные формулы:
1. Среднее арифметическое выборки ($\bar{x}$): $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$, где $x_i$ — элементы выборки, $n$ — объем выборки.
2. Дисперсия выборки ($D$): $D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$.
3. Среднее квадратичное отклонение ($\sigma$): $\sigma = \sqrt{D}$.

1) Рассматривается выборка: 1, 2, 4, 5.
Объем выборки $n$ равен 4.

Шаг 1: Вычисление среднего арифметического.
$\bar{x} = \frac{1+2+4+5}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

Шаг 2: Вычисление дисперсии.
Дисперсия — это среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от их среднего.
$D = \frac{(1-3)^2 + (2-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2}{4} = \frac{(-2)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 2^2}{4} = \frac{4+1+1+4}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$.

Шаг 3: Вычисление среднего квадратичного отклонения.
Среднее квадратичное отклонение равно квадратному корню из дисперсии.
$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{2.5}$.

Ответ: дисперсия равна 2.5; среднее квадратичное отклонение равно $\sqrt{2.5}$.

2) Рассматривается выборка: 2, 2, 3, 4, 4, 6.
Объем выборки $n$ равен 6.

Шаг 1: Вычисление среднего арифметического.
$\bar{x} = \frac{2+2+3+4+4+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$.

Шаг 2: Вычисление дисперсии.
$D = \frac{(2-3.5)^2 + (2-3.5)^2 + (3-3.5)^2 + (4-3.5)^2 + (4-3.5)^2 + (6-3.5)^2}{6}$
$D = \frac{(-1.5)^2 + (-1.5)^2 + (-0.5)^2 + (0.5)^2 + (0.5)^2 + (2.5)^2}{6}$
$D = \frac{2.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 0.25 + 6.25}{6} = \frac{11.5}{6} = \frac{23/2}{6} = \frac{23}{12}$.

Шаг 3: Вычисление среднего квадратичного отклонения.
$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{\frac{23}{12}}$.

Ответ: дисперсия равна $\frac{23}{12}$; среднее квадратичное отклонение равно $\sqrt{\frac{23}{12}}$.