Номер 198, страница 63 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

198. Найти моду, медиану, среднее, размах выборки и относительную частоту каждого значения элементов выборки, представленных в частотной таблице:

Значение $X$: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Частота $M$: 1, 3, 4, 7, 6, 5, 2, 1

Для начала найдем общий объем выборки (общее количество элементов), сложив все частоты $M$:
$ N = 1 + 3 + 4 + 7 + 6 + 5 + 2 + 1 = 29 $

Мода
Мода выборки — это значение, которое встречается в выборке наиболее часто. Чтобы найти моду, нужно найти наибольшее значение в строке "Частота М".
Наибольшая частота в таблице равна 7. Этой частоте соответствует значение $X = 6$.
Ответ: 6.

Медиана
Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда данных. Так как объем выборки $N = 29$ (нечетное число), медиана будет находиться на позиции с номером $(N + 1) / 2$.
Номер медианного элемента: $(29 + 1) / 2 = 15$.
Теперь найдем, какому значению $X$ соответствует 15-й элемент выборки. Для этого будем последовательно накапливать частоты:
- Значение 3: 1 элемент (занимает 1-е место).
- Значение 4: 3 элемента (занимают места с 2-го по 4-е, так как $1+3=4$).
- Значение 5: 4 элемента (занимают места с 5-го по 8-е, так как $4+4=8$).
- Значение 6: 7 элементов (занимают места с 9-го по 15-е, так как $8+7=15$).
Таким образом, 15-й элемент в упорядоченной выборке равен 6.
Ответ: 6.

Среднее
Среднее значение выборки (или среднее арифметическое) вычисляется по формуле: $ \bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{k} X_i M_i}{N} $, где $X_i$ — значение, $M_i$ — его частота, $N$ — объем выборки.
Вычислим сумму произведений значений на их частоты:
$ \sum X_i M_i = (3 \cdot 1) + (4 \cdot 3) + (5 \cdot 4) + (6 \cdot 7) + (7 \cdot 6) + (8 \cdot 5) + (9 \cdot 2) + (10 \cdot 1) $
$ \sum X_i M_i = 3 + 12 + 20 + 42 + 42 + 40 + 18 + 10 = 187 $
Теперь разделим эту сумму на объем выборки $N=29$:
$ \bar{X} = \frac{187}{29} \approx 6.448 $
Ответ: $ \frac{187}{29} \approx 6.45 $.

Размах выборки
Размах выборки — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в выборке.
Наибольшее значение $X_{max} = 10$.
Наименьшее значение $X_{min} = 3$.
Размах $R = X_{max} - X_{min} = 10 - 3 = 7$.
Ответ: 7.

Относительная частота каждого значения
Относительная частота вычисляется по формуле $ W = \frac{M}{N} $, где $M$ — частота значения, а $N$ — общий объем выборки ($N=29$).
- Для значения X=3: $ W_3 = \frac{1}{29} $
- Для значения X=4: $ W_4 = \frac{3}{29} $
- Для значения X=5: $ W_5 = \frac{4}{29} $
- Для значения X=6: $ W_6 = \frac{7}{29} $
- Для значения X=7: $ W_7 = \frac{6}{29} $
- Для значения X=8: $ W_8 = \frac{5}{29} $
- Для значения X=9: $ W_9 = \frac{2}{29} $
- Для значения X=10: $ W_{10} = \frac{1}{29} $
Ответ: Относительные частоты для значений 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 равны соответственно $ \frac{1}{29}, \frac{3}{29}, \frac{4}{29}, \frac{7}{29}, \frac{6}{29}, \frac{5}{29}, \frac{2}{29}, \frac{1}{29} $.