Номер 3, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Какие множества называют равными?

В математике два множества называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Неважно, в каком порядке перечислены элементы или сколько раз они повторяются при записи — для равенства важен только сам факт наличия или отсутствия элемента в множестве.

Более строго, множество $A$ равно множеству $B$ тогда и только тогда, когда каждый элемент множества $A$ является элементом множества $B$, и каждый элемент множества $B$ является элементом множества $A$.

Это условие можно выразить через понятие подмножества. Множества $A$ и $B$ равны, если $A$ является подмножеством $B$ ($A \subseteq B$) и одновременно $B$ является подмножеством $A$ ($B \subseteq A$). Формально это записывается так:

$A = B \iff (A \subseteq B \land B \subseteq A)$

Рассмотрим ключевые моменты на примерах:

1. Порядок элементов не имеет значения.
   Например, множества $A = \{1, 2, 3\}$ и $B = \{3, 1, 2\}$ равны, так как они содержат одинаковый набор чисел.
2. Повторение элементов не учитывается.
   Например, множество $C = \{a, b, c\}$ и множество $D = \{a, b, b, c, a\}$ равны. Несмотря на то, что в записи множества $D$ элементы $a$ и $b$ повторяются, уникальный состав элементов у обоих множеств одинаков: $\{a, b, c\}$.
3. Способ задания множества не влияет на равенство.
   Например, пусть множество $E$ задано как множество корней уравнения $x^2 - 9 = 0$, а множество $F$ задано перечислением элементов $F = \{-3, 3\}$. Поскольку решениями уравнения являются числа -3 и 3, то множество $E$ также состоит из элементов $\{-3, 3\}$. Следовательно, $E = F$.

Если же хотя бы один элемент одного множества не принадлежит другому, то такие множества не равны. Например, множества $G = \{5, 10\}$ и $H = \{5, 10, 15\}$ не равны ($G \neq H$), потому что элемент 15 есть в $H$, но его нет в $G$.

Ответ: Равными называют множества, состоящие из одних и тех же элементов. Порядок перечисления элементов и их возможное повторение при записи множества не имеют значения.