Номер 8, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

8. Что является дополнением множества рациональных чисел до множества действительных чисел?

Чтобы определить дополнение множества рациональных чисел до множества действительных чисел, необходимо рассмотреть определения этих множеств и операцию дополнения.

Множество действительных чисел, которое обозначается символом $ \mathbb{R} $, представляет собой совокупность всех чисел, расположенных на числовой прямой. Оно включает в себя как рациональные, так и иррациональные числа.

Множество рациональных чисел, обозначаемое как $ \mathbb{Q} $, состоит из всех чисел, которые можно представить в виде дроби $ \frac{m}{n} $, где $ m $ — целое число ($ m \in \mathbb{Z} $), а $ n $ — натуральное число ($ n \in \mathbb{N} $). Примерами рациональных чисел являются $ 5 $, $ -3 $, $ \frac{1}{2} $, $ 0.75 $ (т.е. $ \frac{3}{4} $), $ 0.333... $ (т.е. $ \frac{1}{3} $).

Дополнение множества $ A $ до множества $ B $ (при условии, что $ A $ является подмножеством $ B $) — это множество всех элементов из $ B $, которые не содержатся в $ A $. Эта операция называется разностью множеств и обозначается как $ B \setminus A $. В нашем случае, мы ищем множество $ \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} $.

Таким образом, нам нужно найти множество всех действительных чисел, которые не являются рациональными. По определению, такие числа называются иррациональными.

Множество иррациональных чисел (обозначается $ \mathbb{I} $ или $ \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} $) — это множество действительных чисел, которые не могут быть представлены в виде дроби $ \frac{m}{n} $. В виде десятичной дроби они представляются как бесконечные непериодические дроби. Классические примеры иррациональных чисел: число пи ($ \pi \approx 3.14159... $), основание натурального логарифма ($ e \approx 2.71828... $), квадратный корень из двух ($ \sqrt{2} \approx 1.41421... $).

Множество действительных чисел $ \mathbb{R} $ является объединением двух непересекающихся множеств: множества рациональных чисел $ \mathbb{Q} $ и множества иррациональных чисел $ \mathbb{I} $. Это можно записать в виде формулы: $ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $.

Следовательно, если из множества всех действительных чисел $ \mathbb{R} $ "удалить" все рациональные числа $ \mathbb{Q} $, останется в точности множество иррациональных чисел $ \mathbb{I} $.

Ответ: Множество иррациональных чисел.