Номер 2, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

2. Что такое пустое множество?

В теории множеств пустое множество — это уникальное множество, которое не содержит ни одного элемента. Это одно из фундаментальных понятий, на котором строится большая часть математики.

Для обозначения пустого множества используются специальные символы. Самый распространенный — это символ `$\emptyset$`. Также его можно записать в виде пустых фигурных скобок: `{}`. Важно не путать пустое множество `$\emptyset$` с множеством, содержащим ноль `{0}`, так как последнее содержит один элемент — число 0.

Основные свойства пустого множества:

1. Единственность. Существует только одно пустое множество. Любые два множества, не содержащие элементов, равны между собой.

2. Мощность. Мощность (или кардинальное число) пустого множества, то есть количество его элементов, равна нулю. Это записывается как `$|\emptyset| = 0$`.

3. Подмножество. Пустое множество является подмножеством любого множества $A$. Формально: `$\forall A: \emptyset \subseteq A$`. Это утверждение верно, так как в пустом множестве нет ни одного элемента, который бы не принадлежал множеству $A$ (поскольку в `$\emptyset$` нет элементов вообще).

4. Операции над множествами. - Объединение: Объединение любого множества $A$ с пустым множеством равно самому множеству $A$. `$A \cup \emptyset = A$`. - Пересечение: Пересечение любого множества $A$ с пустым множеством равно пустому множеству. `$A \cap \emptyset = \emptyset$`. - Декартово произведение: Декартово произведение любого множества $A$ с пустым множеством равно пустому множеству. `$A \times \emptyset = \emptyset$`.

Примеры пустых множеств:

- Множество всех целых чисел, которые одновременно являются и четными, и нечетными.

- Множество действительных чисел $x$, удовлетворяющих уравнению `$x^2 = -1$`.

- Множество всех треугольников, у которых четыре угла.

Ответ: Пустое множество — это множество, в котором нет ни одного элемента. Оно обозначается символами `$\emptyset$` или `{}`, его мощность (количество элементов) равна нулю, и оно является подмножеством любого другого множества.