Страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Какими способами задаются множества?

Множество в математике можно задать (определить) несколькими основными способами. Вот наиболее распространенные из них:

1. Перечисление (или перечень) всех элементов множества

Этот способ подходит для конечных множеств, особенно если они содержат небольшое количество элементов. Элементы множества записываются в фигурных скобках через запятую или точку с запятой. Порядок перечисления элементов не имеет значения.
Пример 1: Множество гласных букв русского алфавита: $A = \{а, е, ё, и, о, у, ы, э, ю, я\}$.
Пример 2: Множество первых пяти натуральных чисел: $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
Пример 3: Множество, состоящее из чисел 2, 4 и 6, можно записать как $\{2, 4, 6\}$ или $\{6, 2, 4\}$, это одно и то же множество.
Для некоторых бесконечных множеств, элементы которых образуют очевидную последовательность, используется многоточие.
Пример 4: Множество всех натуральных чисел: $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, ...\}$.

Ответ: Множество задается путем прямого перечисления его элементов в фигурных скобках.

2. Указание характеристического свойства элементов

Этот способ заключается в описании общего свойства, которым обладают все элементы данного множества и не обладают никакие другие элементы. Это наиболее универсальный способ, подходящий как для конечных, так и для бесконечных множеств.
Запись имеет вид $M = \{x \mid P(x)\}$ или $M = \{x : P(x)\}$, что читается как "М — это множество всех таких элементов $x$, для которых истинно утверждение (свойство) $P(x)$".
Пример 1: Множество $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ из предыдущего пункта можно задать свойством: $B = \{n \mid n \in \mathbb{N} \text{ и } 1 \le n \le 5 \}$. (Множество всех натуральных чисел $n$, которые больше или равны 1 и меньше или равны 5).
Пример 2: Множество всех четных целых чисел: $C = \{x \mid x \in \mathbb{Z} \text{ и } x \text{ делится на 2 без остатка}\}$.
Пример 3: Множество решений уравнения $x^2 - 4 = 0$: $D = \{x \mid x \in \mathbb{R} \text{ и } x^2 - 4 = 0\}$. Это множество можно задать и перечислением: $D = \{-2, 2\}$.

Ответ: Множество задается описанием свойства, которому удовлетворяют все его элементы и только они.

3. Порождающая (рекурсивная) процедура

Этот способ определяет множество через:
а) Базис: указание исходных элементов, которые точно принадлежат множеству.
б) Шаг индукции: указание правил (операций), с помощью которых из уже имеющихся элементов можно получать новые элементы множества.
в) Ограничивающее условие: указание, что других элементов, кроме полученных с помощью базиса и шага индукции, в множестве нет.
Пример: Множество $\mathbb{N}_{even}$ четных натуральных чисел можно задать рекурсивно:
1) (Базис) $2 \in \mathbb{N}_{even}$.
2) (Шаг индукции) Если $n \in \mathbb{N}_{even}$, то $(n+2) \in \mathbb{N}_{even}$.
Таким образом, мы получаем последовательно все элементы множества: 2, 4, 6, 8, ...

Ответ: Множество задается через базовые элементы и правила для генерации новых элементов из существующих.

4. Использование стандартных обозначений

Для наиболее важных и часто используемых в математике множеств существуют общепринятые стандартные обозначения.
• $\emptyset$ или $\{\}$ — пустое множество (не содержит ни одного элемента).
• $\mathbb{N}$ — множество натуральных чисел $\{1, 2, 3, ...\}$.
• $\mathbb{Z}$ — множество целых чисел $\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$.
• $\mathbb{Q}$ — множество рациональных чисел (числа, представимые в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}$).
• $\mathbb{R}$ — множество действительных (вещественных) чисел.
• $\mathbb{C}$ — множество комплексных чисел.

Ответ: Множество задается с помощью общепринятого символа, который его обозначает.

5. Наглядное (графическое) представление

Для наглядного представления множеств и отношений между ними часто используют диаграммы Эйлера-Венна. Множество изображается в виде некоторой фигуры на плоскости (обычно круга или овала), а его элементы — точками внутри этой фигуры. Этот способ не является строгим математическим определением, но очень полезен для иллюстрации и решения задач.

Ответ: Множество изображается графически, обычно в виде круга на диаграмме Эйлера-Венна, для наглядной демонстрации.

2. Что такое пустое множество?

В теории множеств пустое множество — это уникальное множество, которое не содержит ни одного элемента. Это одно из фундаментальных понятий, на котором строится большая часть математики.

Для обозначения пустого множества используются специальные символы. Самый распространенный — это символ `$\emptyset$`. Также его можно записать в виде пустых фигурных скобок: `{}`. Важно не путать пустое множество `$\emptyset$` с множеством, содержащим ноль `{0}`, так как последнее содержит один элемент — число 0.

Основные свойства пустого множества:

1. Единственность. Существует только одно пустое множество. Любые два множества, не содержащие элементов, равны между собой.

2. Мощность. Мощность (или кардинальное число) пустого множества, то есть количество его элементов, равна нулю. Это записывается как `$|\emptyset| = 0$`.

3. Подмножество. Пустое множество является подмножеством любого множества $A$. Формально: `$\forall A: \emptyset \subseteq A$`. Это утверждение верно, так как в пустом множестве нет ни одного элемента, который бы не принадлежал множеству $A$ (поскольку в `$\emptyset$` нет элементов вообще).

4. Операции над множествами. - Объединение: Объединение любого множества $A$ с пустым множеством равно самому множеству $A$. `$A \cup \emptyset = A$`. - Пересечение: Пересечение любого множества $A$ с пустым множеством равно пустому множеству. `$A \cap \emptyset = \emptyset$`. - Декартово произведение: Декартово произведение любого множества $A$ с пустым множеством равно пустому множеству. `$A \times \emptyset = \emptyset$`.

Примеры пустых множеств:

- Множество всех целых чисел, которые одновременно являются и четными, и нечетными.

- Множество действительных чисел $x$, удовлетворяющих уравнению `$x^2 = -1$`.

- Множество всех треугольников, у которых четыре угла.

Ответ: Пустое множество — это множество, в котором нет ни одного элемента. Оно обозначается символами `$\emptyset$` или `{}`, его мощность (количество элементов) равна нулю, и оно является подмножеством любого другого множества.

3. Какие множества называют равными?

В математике два множества называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Неважно, в каком порядке перечислены элементы или сколько раз они повторяются при записи — для равенства важен только сам факт наличия или отсутствия элемента в множестве.

Более строго, множество $A$ равно множеству $B$ тогда и только тогда, когда каждый элемент множества $A$ является элементом множества $B$, и каждый элемент множества $B$ является элементом множества $A$.

Это условие можно выразить через понятие подмножества. Множества $A$ и $B$ равны, если $A$ является подмножеством $B$ ($A \subseteq B$) и одновременно $B$ является подмножеством $A$ ($B \subseteq A$). Формально это записывается так:

$A = B \iff (A \subseteq B \land B \subseteq A)$

Рассмотрим ключевые моменты на примерах:

1. Порядок элементов не имеет значения.
   Например, множества $A = \{1, 2, 3\}$ и $B = \{3, 1, 2\}$ равны, так как они содержат одинаковый набор чисел.
2. Повторение элементов не учитывается.
   Например, множество $C = \{a, b, c\}$ и множество $D = \{a, b, b, c, a\}$ равны. Несмотря на то, что в записи множества $D$ элементы $a$ и $b$ повторяются, уникальный состав элементов у обоих множеств одинаков: $\{a, b, c\}$.
3. Способ задания множества не влияет на равенство.
   Например, пусть множество $E$ задано как множество корней уравнения $x^2 - 9 = 0$, а множество $F$ задано перечислением элементов $F = \{-3, 3\}$. Поскольку решениями уравнения являются числа -3 и 3, то множество $E$ также состоит из элементов $\{-3, 3\}$. Следовательно, $E = F$.

Если же хотя бы один элемент одного множества не принадлежит другому, то такие множества не равны. Например, множества $G = \{5, 10\}$ и $H = \{5, 10, 15\}$ не равны ($G \neq H$), потому что элемент 15 есть в $H$, но его нет в $G$.

Ответ: Равными называют множества, состоящие из одних и тех же элементов. Порядок перечисления элементов и их возможное повторение при записи множества не имеют значения.

4. Какое множество называют подмножеством данного множества?

5. Что называют разностью множеств A и B?

Разностью множеств $A$ и $B$ называется множество, которое состоит из всех элементов множества $A$, не принадлежащих множеству $B$. Эту операцию также называют относительным дополнением множества $B$ в множестве $A$.

Иными словами, чтобы найти разность $A \setminus B$, из множества $A$ необходимо "удалить" все его элементы, которые одновременно содержатся и в множестве $B$.

Стандартные обозначения для разности множеств: $A \setminus B$ или $A - B$.

Формальное определение разности множеств записывается следующим образом:
$A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \notin B\}$
Это читается так: "разность множеств $A$ и $B$ есть множество таких элементов $x$, что $x$ принадлежит множеству $A$ и $x$ не принадлежит множеству $B$".

Пример:
Пусть даны два множества:
$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$
$B = \{4, 5, 6, 7\}$

Чтобы найти разность $A \setminus B$, мы берем все элементы из $A$ и исключаем те, которые также есть в $B$. Общими элементами являются $4$ и $5$.
Таким образом, $A \setminus B = \{1, 2, 3\}$.

Важно отметить, что операция разности множеств некоммутативна, то есть в общем случае $A \setminus B \neq B \setminus A$. Если мы найдем разность $B \setminus A$ для нашего примера, мы получим другой результат:
$B \setminus A = \{6, 7\}$ (из множества $B$ исключены общие элементы $4$ и $5$).
Как видим, $\{1, 2, 3\} \neq \{6, 7\}$.

Ответ: Разностью множеств $A$ и $B$ (обозначается $A \setminus B$) является множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат множеству $A$, но не принадлежат множеству $B$.

6. Что называют дополнением множества X до множества Y?

Дополнением множества $X$ до множества $Y$ называют множество, которое состоит из всех элементов множества $Y$, не принадлежащих множеству $X$. Эту операцию также называют разностью множеств $Y$ и $X$.

Обычно, когда используется термин "дополнение множества $X$ до множества $Y$", подразумевается, что множество $X$ является подмножеством множества $Y$, то есть $X \subseteq Y$. В этом случае получаемое множество как бы "дополняет" $X$ до $Y$.

Дополнение множества $X$ до множества $Y$ обозначается как $Y \setminus X$ или $Y - X$.

Формальное определение в виде множества выглядит так:

$Y \setminus X = \{z \mid z \in Y \text{ и } z \notin X\}$

Пример:

Пусть даны множества $Y = \{a, b, c, d, e\}$ и $X = \{b, d\}$.

Мы ищем элементы, которые есть в $Y$, но которых нет в $X$.

Элемент $a$ есть в $Y$, но нет в $X$.

Элемент $b$ есть и в $Y$, и в $X$.

Элемент $c$ есть в $Y$, но нет в $X$.

Элемент $d$ есть и в $Y$, и в $X$.

Элемент $e$ есть в $Y$, но нет в $X$.

Следовательно, множество, состоящее из таких элементов, будет:

$Y \setminus X = \{a, c, e\}$

Это и есть дополнение множества $X$ до множества $Y$.

Ответ: Дополнением множества $X$ до множества $Y$ называется множество, обозначаемое как $Y \setminus X$, которое содержит все те и только те элементы множества $Y$, которые не являются элементами множества $X$. Формально это записывается так: $Y \setminus X = \{z \mid z \in Y \text{ и } z \notin X\}$.

7. Что является дополнением множества целых чисел до множества рациональных чисел?

Для того чтобы найти дополнение множества целых чисел до множества рациональных чисел, необходимо рассмотреть определения этих множеств и операции дополнения.

Множество целых чисел (обозначается $Z$) — это совокупность натуральных чисел (1, 2, 3, ...), им противоположных отрицательных чисел (–1, –2, –3, ...) и нуля. Таким образом, $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.

Множество рациональных чисел (обозначается $Q$) — это множество всех чисел, которые можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in Z$), а $n$ — натуральное число ($n \in N$).

Любое целое число $z$ можно представить в виде дроби со знаменателем 1, то есть $z = \frac{z}{1}$. Это означает, что любое целое число является также и рациональным числом. Следовательно, множество целых чисел $Z$ является подмножеством множества рациональных чисел $Q$, что записывается как $Z \subset Q$.

Дополнением множества $A$ до множества $B$ (при условии, что $A$ является подмножеством $B$) называется множество, состоящее из всех элементов множества $B$, которые не принадлежат множеству $A$. Эта операция называется разностью множеств и обозначается как $B \setminus A$.

В данном случае нам нужно найти дополнение множества $Z$ до множества $Q$, то есть найти множество $Q \setminus Z$. Это множество будет содержать все рациональные числа, которые не являются целыми. Такие числа называются дробными числами.

Примерами таких чисел являются: $\frac{1}{2}, -\frac{7}{3}, 0.25, -5.1$. Эти числа можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, но нельзя представить в виде целого числа. В то же время числа вроде $4$ (которое равно $\frac{4}{1}$) или $-10$ (которое равно $\frac{-20}{2}$) являются целыми и поэтому не входят в искомое дополнение.

Ответ: Дополнением множества целых чисел до множества рациональных чисел является множество всех дробных чисел (то есть рациональных чисел, которые не являются целыми).

8. Что является дополнением множества рациональных чисел до множества действительных чисел?

Чтобы определить дополнение множества рациональных чисел до множества действительных чисел, необходимо рассмотреть определения этих множеств и операцию дополнения.

Множество действительных чисел, которое обозначается символом $ \mathbb{R} $, представляет собой совокупность всех чисел, расположенных на числовой прямой. Оно включает в себя как рациональные, так и иррациональные числа.

Множество рациональных чисел, обозначаемое как $ \mathbb{Q} $, состоит из всех чисел, которые можно представить в виде дроби $ \frac{m}{n} $, где $ m $ — целое число ($ m \in \mathbb{Z} $), а $ n $ — натуральное число ($ n \in \mathbb{N} $). Примерами рациональных чисел являются $ 5 $, $ -3 $, $ \frac{1}{2} $, $ 0.75 $ (т.е. $ \frac{3}{4} $), $ 0.333... $ (т.е. $ \frac{1}{3} $).

Дополнение множества $ A $ до множества $ B $ (при условии, что $ A $ является подмножеством $ B $) — это множество всех элементов из $ B $, которые не содержатся в $ A $. Эта операция называется разностью множеств и обозначается как $ B \setminus A $. В нашем случае, мы ищем множество $ \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} $.

Таким образом, нам нужно найти множество всех действительных чисел, которые не являются рациональными. По определению, такие числа называются иррациональными.

Множество иррациональных чисел (обозначается $ \mathbb{I} $ или $ \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} $) — это множество действительных чисел, которые не могут быть представлены в виде дроби $ \frac{m}{n} $. В виде десятичной дроби они представляются как бесконечные непериодические дроби. Классические примеры иррациональных чисел: число пи ($ \pi \approx 3.14159... $), основание натурального логарифма ($ e \approx 2.71828... $), квадратный корень из двух ($ \sqrt{2} \approx 1.41421... $).

Множество действительных чисел $ \mathbb{R} $ является объединением двух непересекающихся множеств: множества рациональных чисел $ \mathbb{Q} $ и множества иррациональных чисел $ \mathbb{I} $. Это можно записать в виде формулы: $ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $.

Следовательно, если из множества всех действительных чисел $ \mathbb{R} $ "удалить" все рациональные числа $ \mathbb{Q} $, останется в точности множество иррациональных чисел $ \mathbb{I} $.

Ответ: Множество иррациональных чисел.

9. Что называют пересечением множеств $A$ и $B$?

Пересечением множеств A и B называют новое множество, которое состоит из всех тех и только тех элементов, которые одновременно принадлежат и множеству A, и множеству B.

Другими словами, если элемент входит в пересечение двух множеств, это означает, что он является общим для этих двух множеств.

Обозначение для пересечения множеств A и B — это $A \cap B$. Читается как "А пересечение Б".

Формально это можно записать с помощью математической нотации следующим образом:
$A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \in B\}$
Эта запись означает, что множество $A \cap B$ состоит из всех элементов $x$, для которых верно утверждение: "$x$ принадлежит A и $x$ принадлежит B".

Пример:
Пусть даны два множества:
$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$
$B = \{4, 5, 6, 7, 8\}$
Тогда их пересечением будет множество, содержащее элементы, которые есть и в A, и в B. Это элементы 4 и 5.
$A \cap B = \{4, 5\}$

Если у множеств A и B нет общих элементов, то их пересечение является пустым множеством, которое обозначается символом $\emptyset$. Такие множества называют непересекающимися.
Пример непересекающихся множеств:
Пусть $C = \{a, b, c\}$ и $D = \{d, e, f\}$.
Тогда $C \cap D = \emptyset$.

Ответ: Пересечением множеств A и B называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству A, так и множеству B. Обозначается как $A \cap B$.

10. Что является пересечением множества целых чисел с множеством действительных чисел?

Чтобы найти пересечение двух множеств, необходимо определить, какие элементы принадлежат обоим этим множествам одновременно.

Множество целых чисел, которое обозначается символом $\mathbb{Z}$, состоит из натуральных чисел (1, 2, 3, ...), им противоположных отрицательных чисел (-1, -2, -3, ...) и нуля (0).
$\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$

Множество действительных (или вещественных) чисел, обозначаемое символом $\mathbb{R}$, включает в себя все рациональные числа (которые можно представить в виде дроби, включая целые) и все иррациональные числа (например, $\pi$, $\sqrt{2}$). Множество действительных чисел соответствует всем точкам на числовой прямой.

По определению, любое целое число является также и действительным числом. Например, число 5 — это и целое, и действительное число. Число -128 — это и целое, и действительное. Это означает, что множество целых чисел является подмножеством множества действительных чисел. В виде формулы это записывается как $\mathbb{Z} \subset \mathbb{R}$.

Пересечением множеств $A$ и $B$ (записывается как $A \cap B$) называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат и множеству $A$, и множеству $B$. В нашем случае мы ищем пересечение $\mathbb{Z} \cap \mathbb{R}$.

Поскольку каждый элемент множества целых чисел ($\mathbb{Z}$) уже содержится во множестве действительных чисел ($\mathbb{R}$), то их общими элементами будут все элементы из множества целых чисел.

Таким образом, результатом пересечения будет само множество целых чисел: $\mathbb{Z} \cap \mathbb{R} = \mathbb{Z}$.

Ответ: Пересечением множества целых чисел с множеством действительных чисел является множество целых чисел.

11. Какие множества называют непересекающимися?

11. Непересекающимися множествами называют два или более множеств, которые не имеют ни одного общего элемента. Иными словами, их пересечение является пустым множеством.

В теории множеств, два множества $A$ и $B$ называются непересекающимися (или дизъюнктными), если их пересечение, то есть множество, содержащее все элементы, которые принадлежат одновременно и $A$, и $B$, является пустым. Это формально записывается так:

$A \cap B = \emptyset$

Здесь символ $\cap$ обозначает операцию пересечения множеств, а $\emptyset$ — это обозначение пустого множества.

Это понятие можно расширить на семейство из нескольких множеств. Множества $A_1, A_2, ..., A_n$ называются попарно непересекающимися, если любые два различных множества из этого набора не имеют общих элементов, то есть $A_i \cap A_j = \emptyset$ для любых $i \neq j$.

Примеры:

• Множество четных натуральных чисел $E = \{2, 4, 6, ...\}$ и множество нечетных натуральных чисел $O = \{1, 3, 5, ...\}$ являются непересекающимися, так как ни одно число не может быть одновременно и четным, и нечетным. Их пересечение $E \cap O = \emptyset$.
• Множество $A = \{1, 2, 3\}$ и множество $B = \{4, 5, 6\}$ не пересекаются.
• В геометрии, множество точек, образующих одну окружность, и множество точек, образующих другую окружность, которая находится полностью вне первой, являются непересекающимися.

Контрпример (пересекающиеся множества):

• Множество $C = \{1, 2, 3, 4\}$ и множество $D = \{3, 4, 5, 6\}$ не являются непересекающимися, так как их пересечение содержит общие элементы: $C \cap D = \{3, 4\}$.

На диаграммах Венна непересекающиеся множества изображаются в виде геометрических фигур (чаще всего кругов), которые не накладываются друг на друга и не имеют общих точек.

Ответ: Непересекающимися называют множества, у которых нет общих элементов. Математически это означает, что их пересечение равно пустому множеству ($A \cap B = \emptyset$).

12. Что называют объединением множеств A и B?

Объединением (или суммой) множеств A и B называют множество, которое состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств (то есть, принадлежащих множеству A, или множеству B, или им обоим одновременно).

Объединение множеств A и B обозначается символом $ \cup $. Запись $ A \cup B $ читается как «объединение А и В».

С помощью математических символов определение можно записать так:

$ A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\} $

Это означает, что элемент $ x $ принадлежит объединению множеств $ A \cup B $ тогда и только тогда, когда $ x $ принадлежит $ A $ или $ x $ принадлежит $ B $.

Пример:

Пусть даны два множества: $ A = \{1, 2, 3\} $ и $ B = \{3, 4, 5\} $.

Тогда их объединением будет множество, содержащее все элементы из A и все элементы из B, при этом общие элементы указываются только один раз:

$ A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\} $

Ответ: Объединением множеств A и B называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Обозначается как $ A \cup B $.

13. Что является объединением множества натуральных чисел с множеством рациональных чисел?

Чтобы найти объединение множества натуральных чисел с множеством рациональных чисел, необходимо рассмотреть определения этих множеств и их взаимосвязь.

Множество натуральных чисел, обозначаемое как $\mathbb{N}$, — это множество чисел, используемых при счете: $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, ...\}$.

Множество рациональных чисел, обозначаемое как $\mathbb{Q}$, — это множество всех чисел, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$). Рациональные числа включают в себя целые числа, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби.

Ключевым моментом для решения задачи является установление связи между этими двумя множествами. Любое натуральное число $k$ можно представить в виде дроби со знаменателем 1, то есть $k = \frac{k}{1}$. В этой записи числитель $k$ является целым числом, а знаменатель 1 — натуральным. Следовательно, любое натуральное число по определению является рациональным числом. Это означает, что множество натуральных чисел является подмножеством множества рациональных чисел, что записывается как $\mathbb{N} \subset \mathbb{Q}$.

Объединение множеств (обозначается символом $\cup$) — это операция, результатом которой является множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. Когда мы объединяем множество с его подмножеством (в данном случае $\mathbb{N}$ и $\mathbb{Q}$), в результирующее множество не добавляется никаких новых элементов, так как все элементы подмножества уже содержатся в большем множестве.

Таким образом, объединение множества натуральных чисел и множества рациональных чисел будет равно самому множеству рациональных чисел:

$\mathbb{N} \cup \mathbb{Q} = \mathbb{Q}$

Ответ: Объединением множества натуральных чисел с множеством рациональных чисел является множество рациональных чисел.

14. В каком случае объединение множеств $A$ и $B$ равно пересечению этих множеств?

Для того чтобы найти условие, при котором объединение множеств $A$ и $B$ равно их пересечению, необходимо проанализировать определения этих операций.

Объединение множеств $A$ и $B$, которое обозначается как $A \cup B$, — это множество, содержащее все элементы, принадлежащие хотя бы одному из исходных множеств. То есть, $x \in A \cup B$ тогда и только тогда, когда $x \in A$ или $x \in B$.

Пересечение множеств $A$ и $B$, которое обозначается как $A \cap B$, — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат одновременно обоим исходным множествам. То есть, $x \in A \cap B$ тогда и только тогда, когда $x \in A$ и $x \in B$.

Нам необходимо определить, при каком условии выполняется равенство: $$ A \cup B = A \cap B $$

По определению, любой элемент пересечения множеств также является элементом их объединения. Это означает, что пересечение всегда является подмножеством объединения: $$ A \cap B \subseteq A \cup B $$

Для того чтобы два множества были равны, они должны быть подмножествами друг друга. Таким образом, для выполнения равенства $A \cup B = A \cap B$ необходимо, чтобы выполнялось и обратное включение: $$ A \cup B \subseteq A \cap B $$

Рассмотрим, что означает это условие. Оно означает, что любой элемент, принадлежащий объединению, должен также принадлежать и пересечению.

1. Пусть $x$ — произвольный элемент множества $A$ (то есть $x \in A$). По определению объединения, этот элемент также принадлежит множеству $A \cup B$. Поскольку мы предположили, что $A \cup B \subseteq A \cap B$, то элемент $x$ должен принадлежать и множеству $A \cap B$. А это по определению пересечения означает, что $x$ принадлежит одновременно и $A$, и $B$. Таким образом, мы приходим к выводу, что любой элемент множества $A$ должен также быть элементом множества $B$. Это означает, что $A$ является подмножеством $B$ ($A \subseteq B$).
2. Проведем аналогичное рассуждение для множества $B$. Пусть $y$ — произвольный элемент множества $B$ (то есть $y \in B$). По определению объединения, $y \in A \cup B$. Из нашего условия $A \cup B \subseteq A \cap B$ следует, что $y$ должен принадлежать и $A \cap B$. Это значит, что $y$ принадлежит одновременно и $A$, и $B$. Следовательно, любой элемент множества $B$ должен также быть элементом множества $A$. Это означает, что $B$ является подмножеством $A$ ($B \subseteq A$).

Если одновременно выполняются два условия: $A \subseteq B$ и $B \subseteq A$, то по определению равенства множеств это означает, что множества $A$ и $B$ равны: $$ A = B $$

Таким образом, объединение множеств равно их пересечению только в том случае, если эти множества равны.

Проверка: Если $A = B$, то

• объединение $A \cup B = A \cup A = A$
• пересечение $A \cap B = A \cap A = A$

Следовательно, $A \cup B = A \cap B$, что и требовалось доказать.

Ответ: Объединение множеств $A$ и $B$ равно их пересечению тогда и только тогда, когда эти множества равны между собой, то есть $A=B$.

15. Когда разность $A \setminus B$ является дополнением множества $B$ до множества $A$?

Для того чтобы ответить на данный вопрос, необходимо рассмотреть определения разности множеств и дополнения одного множества до другого.

Разность множеств $A$ и $B$, обозначаемая как $A \setminus B$, — это множество, содержащее все те элементы множества $A$, которые не содержатся во множестве $B$. Формально это записывается так: $A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \notin B\}$.

Понятие "дополнение множества $B$ до множества $A$" (также называемое относительным дополнением $B$ в $A$) определяет такое множество $C$, которое в совокупности с $B$ образует $A$. Чтобы множество $C$ считалось дополнением $B$ до $A$, должны выполняться два фундаментальных свойства: а) объединение множеств $B$ и $C$ должно быть равно множеству $A$, то есть $B \cup C = A$; б) множества $B$ и $C$ должны быть непересекающимися (дизъюнктными), то есть $B \cap C = \emptyset$.

Вопрос состоит в том, при каком условии разность $A \setminus B$ является таким дополнением. То есть, мы должны найти условие, при котором, если мы положим $C = A \setminus B$, оба вышеуказанных свойства будут выполнены.

Проверим эти два свойства для $C = A \setminus B$.

Сначала проверим условие непересекаемости: $B \cap (A \setminus B) = \emptyset$. По определению, в множество $A \setminus B$ входят только те элементы, которые не принадлежат множеству $B$. Следовательно, у множеств $B$ и $A \setminus B$ не может быть общих элементов. Их пересечение всегда пусто. Это свойство выполняется для любых множеств $A$ и $B$.

Теперь проверим условие объединения: $B \cup (A \setminus B) = A$. Это равенство выполняется не всегда. Проанализируем его. Чтобы объединение $B \cup (A \setminus B)$ было равно $A$, необходимо, чтобы выполнялось два включения: $B \cup (A \setminus B) \subseteq A$ и $A \subseteq B \cup (A \setminus B)$.

Рассмотрим первое включение: $B \cup (A \setminus B) \subseteq A$. Любой элемент из $A \setminus B$ по определению принадлежит $A$. Чтобы все объединение было подмножеством $A$, необходимо, чтобы и любой элемент из $B$ также принадлежал $A$. Это требование эквивалентно условию, что $B$ является подмножеством $A$, то есть $B \subseteq A$.

Рассмотрим второе включение: $A \subseteq B \cup (A \setminus B)$. Предположим, что условие $B \subseteq A$ выполнено. Возьмем любой элемент $x$ из множества $A$. Для него есть две возможности: либо $x \in B$, либо $x \notin B$. Если $x \in B$, то он автоматически попадает в объединение $B \cup (A \setminus B)$. Если $x \notin B$, то, поскольку мы знаем, что $x \in A$, элемент $x$ удовлетворяет определению разности $A \setminus B$. Значит, $x \in A \setminus B$, и он также попадает в объединение. Таким образом, при условии $B \subseteq A$, любой элемент из $A$ содержится в $B \cup (A \setminus B)$.

Следовательно, равенство $B \cup (A \setminus B) = A$ выполняется тогда и только тогда, когда $B \subseteq A$.

Итак, из двух свойств, определяющих дополнение, первое ($B \cap C = \emptyset$) выполняется всегда, а второе ($B \cup C = A$) — только при условии, что $B$ является подмножеством $A$.

Ответ: Разность $A \setminus B$ является дополнением множества $B$ до множества $A$ тогда и только тогда, когда множество $B$ является подмножеством множества $A$, то есть при выполнении условия $B \subseteq A$.

200. Верна ли запись: $3 \in M$; $2 \notin M$; $\frac{1}{2} \in M$; $-2 \notin M$, если $M = \{1; 2; 3; 4; 5\}$?

$3 \in M$

Данная запись означает, что число 3 является элементом множества $M$. Множество задано как $M = \{1; 2; 3; 4; 5\}$. Мы видим, что число 3 действительно присутствует в перечислении элементов множества $M$. Следовательно, запись верна.

Ответ: верна.

$2 \notin M$

Данная запись означает, что число 2 не является элементом множества $M$. Однако, в составе множества $M = \{1; 2; 3; 4; 5\}$ число 2 есть. Правильная запись была бы $2 \in M$. Следовательно, исходная запись $2 \notin M$ неверна.

Ответ: неверна.

$\frac{1}{2} \in M$

Данная запись означает, что число $\frac{1}{2}$ является элементом множества $M$. Множество $M = \{1; 2; 3; 4; 5\}$ состоит только из целых чисел. Дробное число $\frac{1}{2}$ не является одним из его элементов. Следовательно, запись неверна.

Ответ: неверна.

$-2 \notin M$

Данная запись означает, что число -2 не является элементом множества $M$. Множество $M = \{1; 2; 3; 4; 5\}$ содержит только натуральные числа от 1 до 5. Отрицательное число -2 не входит в это множество. Следовательно, запись верна.

Ответ: верна.

201. Пусть A — множество всех натуральных делителей числа 12.

Верно ли, что: $1 \in A$; $3 \notin A$; $-2 \in A$; $7 \notin A$?

По условию, множество A — это множество всех натуральных делителей числа 12. Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \ldots$). Найдем все натуральные делители числа 12, то есть все натуральные числа, на которые 12 делится без остатка. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Таким образом, множество A можно записать как $A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$. Теперь проверим истинность каждого утверждения.

$1 \in A$: Это утверждение означает, что число 1 принадлежит множеству A. Так как $12 \div 1 = 12$, то 1 является натуральным делителем числа 12. Следовательно, 1 принадлежит множеству A. Утверждение верно.

Ответ: верно.

$3 \notin A$: Это утверждение означает, что число 3 не принадлежит множеству A. Проверим, является ли 3 делителем 12. Так как $12 \div 3 = 4$, то 3 является натуральным делителем числа 12. Следовательно, $3 \in A$. Утверждение, что 3 не принадлежит A, является ложным.

Ответ: неверно.

$-2 \in A$: Это утверждение означает, что число -2 принадлежит множеству A. По определению, множество A состоит только из натуральных делителей. Число -2 является целым, но не натуральным, так как оно отрицательное. Следовательно, $-2$ не может принадлежать множеству A. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

$7 \notin A$: Это утверждение означает, что число 7 не принадлежит множеству A. Проверим, является ли 7 делителем 12. При делении 12 на 7 получается нецелое число ($12 \div 7 \approx 1.71$), то есть 12 не делится на 7 без остатка. Следовательно, 7 не является делителем числа 12, и $7 \notin A$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

202. Записать все подмножества множества:

1) $B = \{6; 7\}$;

2) $C = \{1; 2; 3\}$.

1) B = {6; 7}
Подмножеством называется множество, каждый элемент которого является также элементом исходного множества. Для любого множества его подмножествами являются пустое множество (обозначается как $\emptyset$ или { }) и само это множество.
Общее количество всех подмножеств для множества, состоящего из $n$ элементов, вычисляется по формуле $2^n$.
Множество $B = \{6; 7\}$ содержит 2 элемента, то есть $n=2$. Следовательно, оно имеет $2^2 = 4$ подмножества.
Перечислим все подмножества множества $B$:
1. Подмножество, не содержащее элементов (пустое множество): $\emptyset$.
2. Подмножества, содержащие по одному элементу: $\{6\}$, $\{7\}$.
3. Подмножество, содержащее два элемента (само исходное множество): $\{6; 7\}$.

Ответ: $\emptyset, \{6\}, \{7\}, \{6; 7\}$.

2) C = {1; 2; 3}
Множество $C = \{1; 2; 3\}$ содержит 3 элемента, то есть $n=3$. Следовательно, количество его подмножеств равно $2^3 = 8$.
Перечислим все подмножества, сгруппировав их по количеству элементов:
- Подмножество с 0 элементов (пустое множество): $\emptyset$.
- Подмножества с 1 элементом: $\{1\}$, $\{2\}$, $\{3\}$.
- Подмножества с 2 элементами: $\{1; 2\}$, $\{1; 3\}$, $\{2; 3\}$.
- Подмножество с 3 элементами (само исходное множество): $\{1; 2; 3\}$.
Проверим общее количество: $1 + 3 + 3 + 1 = 8$, что соответствует вычисленному значению.

Ответ: $\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1; 2\}, \{1; 3\}, \{2; 3\}, \{1; 2; 3\}$.

203. Найти все элементы множества:

1) $A = \{x : x \in N, 2x < 5\};$

2) $M = \{a : a \in Z, -1\frac{1}{2} \le a \le 3\};$

3) $C = \{x : x^2 - 6x + 9 = 0\};$

4) $X = \{x : x^2 + 3x - 4 = 0\}.$

1) Множество $A = \{x : x \in \mathbb{N}, 2x < 5\}$ состоит из натуральных чисел $x$, которые удовлетворяют неравенству $2x < 5$. Сначала решим это неравенство. Разделив обе его части на 2, получим $x < \frac{5}{2}$, то есть $x < 2.5$. Множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ включает в себя $\{1, 2, 3, \ldots\}$. Нам нужно выбрать из этого множества числа, которые меньше 2.5. Такими числами являются 1 и 2.

Ответ: $A = \{1, 2\}$.

2) Множество $M = \{a : a \in \mathbb{Z}, -1\frac{1}{2} \le a \le 3\}$ состоит из целых чисел $a$, которые удовлетворяют двойному неравенству $-1\frac{1}{2} \le a \le 3$. Для удобства переведем смешанную дробь в десятичную: $-1\frac{1}{2} = -1.5$. Таким образом, неравенство принимает вид $-1.5 \le a \le 3$. Множество целых чисел $\mathbb{Z}$ включает в себя $\{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$. Нам нужно выбрать из этого множества числа, которые больше или равны -1.5 и меньше или равны 3. Такими числами являются -1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: $M = \{-1, 0, 1, 2, 3\}$.

3) Множество $C = \{x : x^2 - 6x + 9 = 0\}$ состоит из чисел $x$, являющихся корнями уравнения $x^2 - 6x + 9 = 0$. Левая часть этого уравнения является формулой квадрата разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x - 3)^2$. Следовательно, уравнение можно переписать как $(x-3)^2 = 0$. Данное уравнение имеет единственный корень, так как если квадрат числа равен нулю, то и само число равно нулю: $x-3=0$, откуда $x=3$.

Ответ: $C = \{3\}$.

4) Множество $X = \{x : x^2 + 3x - 4 = 0\}$ состоит из чисел $x$, являющихся корнями квадратного уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$. Для нахождения корней воспользуемся формулой через дискриминант. Коэффициенты уравнения: $a=1, b=3, c=-4$. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.
Таким образом, элементами множества $X$ являются числа 1 и -4.

Ответ: $X = \{-4, 1\}$.

204. На плоскости отмечены точки A и B. Охарактеризовать множество точек M на плоскости, таких, что:

1) ${M : AM = 2}$;

2) ${M : MA = MB}$.

1)

Условие $AM = 2$ означает, что расстояние от точки $M$ до точки $A$ всегда постоянно и равно 2. По определению, множество всех точек на плоскости, находящихся на заданном положительном расстоянии (радиусе) от одной данной точки (центра), есть окружность. В данном случае, точка $A$ является центром окружности, а число 2 — её радиусом. Расположение точки $B$ не влияет на определение этого множества.

Ответ: Множество точек $M$ представляет собой окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным 2.

2)

Условие $MA = MB$ означает, что точка $M$ равноудалена от точек $A$ и $B$. Геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину. Такая прямая называется серединным перпендикуляром. Чтобы это доказать, рассмотрим любую точку $M$, удовлетворяющую условию $MA = MB$. Треугольник $AMB$ является равнобедренным с основанием $AB$. Медиана, проведенная из вершины $M$ к середине отрезка $AB$, будет также являться и высотой. Следовательно, точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Верно и обратное: любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$, равноудалена от его концов $A$ и $B$.

Ответ: Множество точек $M$ представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

205. Найти дополнение множества A до множества B, если:

1) $A = \{-5; -4; -3\}$, $B = \{-5; -4; -3; -2\}$;

2) $A = \{-1; 0\}$, $B = \{-2; -1; 0; 1; 2\}$.

1)

Дополнением множества $A$ до множества $B$ (обозначается как $B \setminus A$ или $C_B A$) является множество, содержащее все элементы из множества $B$, которые не принадлежат множеству $A$. Чтобы найти это множество, нужно из всех элементов множества $B$ убрать те, которые также есть и в множестве $A$.

Даны множества: $A = \{-5; -4; -3\}$ и $B = \{-5; -4; -3; -2\}$.

Сравним элементы этих двух множеств. Элементы $-5$, $-4$ и $-3$ принадлежат как множеству $A$, так и множеству $B$. Элемент $-2$ принадлежит множеству $B$, но не принадлежит множеству $A$.

Следовательно, множество, состоящее из элементов $B$, не входящих в $A$, содержит только один элемент: $-2$.

Математически это можно записать так: $B \setminus A = \{-5; -4; -3; -2\} \setminus \{-5; -4; -3\} = \{-2\}$.

Ответ: $\{-2\}$

2)

Аналогично первому пункту, найдем дополнение множества $A$ до множества $B$, то есть найдем элементы, которые есть в $B$, но отсутствуют в $A$.

Даны множества: $A = \{-1; 0\}$ и $B = \{-2; -1; 0; 1; 2\}$.

Сравним элементы множеств. Элементы $-1$ и $0$ содержатся в обоих множествах, поэтому мы их исключаем. Элементы $-2$, $1$ и $2$ содержатся в множестве $B$, но отсутствуют в множестве $A$.

Значит, дополнение множества $A$ до множества $B$ будет состоять из этих элементов.

Математически: $B \setminus A = \{-2; -1; 0; 1; 2\} \setminus \{-1; 0\} = \{-2; 1; 2\}$.

Ответ: $\{-2; 1; 2\}$