Номер 203, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

203. Найти все элементы множества:

1) $A = \{x : x \in N, 2x < 5\};$

2) $M = \{a : a \in Z, -1\frac{1}{2} \le a \le 3\};$

3) $C = \{x : x^2 - 6x + 9 = 0\};$

4) $X = \{x : x^2 + 3x - 4 = 0\}.$

1) Множество $A = \{x : x \in \mathbb{N}, 2x < 5\}$ состоит из натуральных чисел $x$, которые удовлетворяют неравенству $2x < 5$. Сначала решим это неравенство. Разделив обе его части на 2, получим $x < \frac{5}{2}$, то есть $x < 2.5$. Множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ включает в себя $\{1, 2, 3, \ldots\}$. Нам нужно выбрать из этого множества числа, которые меньше 2.5. Такими числами являются 1 и 2.

Ответ: $A = \{1, 2\}$.

2) Множество $M = \{a : a \in \mathbb{Z}, -1\frac{1}{2} \le a \le 3\}$ состоит из целых чисел $a$, которые удовлетворяют двойному неравенству $-1\frac{1}{2} \le a \le 3$. Для удобства переведем смешанную дробь в десятичную: $-1\frac{1}{2} = -1.5$. Таким образом, неравенство принимает вид $-1.5 \le a \le 3$. Множество целых чисел $\mathbb{Z}$ включает в себя $\{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$. Нам нужно выбрать из этого множества числа, которые больше или равны -1.5 и меньше или равны 3. Такими числами являются -1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: $M = \{-1, 0, 1, 2, 3\}$.

3) Множество $C = \{x : x^2 - 6x + 9 = 0\}$ состоит из чисел $x$, являющихся корнями уравнения $x^2 - 6x + 9 = 0$. Левая часть этого уравнения является формулой квадрата разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x - 3)^2$. Следовательно, уравнение можно переписать как $(x-3)^2 = 0$. Данное уравнение имеет единственный корень, так как если квадрат числа равен нулю, то и само число равно нулю: $x-3=0$, откуда $x=3$.

Ответ: $C = \{3\}$.

4) Множество $X = \{x : x^2 + 3x - 4 = 0\}$ состоит из чисел $x$, являющихся корнями квадратного уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$. Для нахождения корней воспользуемся формулой через дискриминант. Коэффициенты уравнения: $a=1, b=3, c=-4$. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.
Таким образом, элементами множества $X$ являются числа 1 и -4.

Ответ: $X = \{-4, 1\}$.