Номер 13, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

13. Что является объединением множества натуральных чисел с множеством рациональных чисел?

Чтобы найти объединение множества натуральных чисел с множеством рациональных чисел, необходимо рассмотреть определения этих множеств и их взаимосвязь.

Множество натуральных чисел, обозначаемое как $\mathbb{N}$, — это множество чисел, используемых при счете: $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, ...\}$.

Множество рациональных чисел, обозначаемое как $\mathbb{Q}$, — это множество всех чисел, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$). Рациональные числа включают в себя целые числа, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби.

Ключевым моментом для решения задачи является установление связи между этими двумя множествами. Любое натуральное число $k$ можно представить в виде дроби со знаменателем 1, то есть $k = \frac{k}{1}$. В этой записи числитель $k$ является целым числом, а знаменатель 1 — натуральным. Следовательно, любое натуральное число по определению является рациональным числом. Это означает, что множество натуральных чисел является подмножеством множества рациональных чисел, что записывается как $\mathbb{N} \subset \mathbb{Q}$.

Объединение множеств (обозначается символом $\cup$) — это операция, результатом которой является множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. Когда мы объединяем множество с его подмножеством (в данном случае $\mathbb{N}$ и $\mathbb{Q}$), в результирующее множество не добавляется никаких новых элементов, так как все элементы подмножества уже содержатся в большем множестве.

Таким образом, объединение множества натуральных чисел и множества рациональных чисел будет равно самому множеству рациональных чисел:

$\mathbb{N} \cup \mathbb{Q} = \mathbb{Q}$

Ответ: Объединением множества натуральных чисел с множеством рациональных чисел является множество рациональных чисел.