Номер 15, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

15. Когда разность $A \setminus B$ является дополнением множества $B$ до множества $A$?

Для того чтобы ответить на данный вопрос, необходимо рассмотреть определения разности множеств и дополнения одного множества до другого.

Разность множеств $A$ и $B$, обозначаемая как $A \setminus B$, — это множество, содержащее все те элементы множества $A$, которые не содержатся во множестве $B$. Формально это записывается так: $A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \notin B\}$.

Понятие "дополнение множества $B$ до множества $A$" (также называемое относительным дополнением $B$ в $A$) определяет такое множество $C$, которое в совокупности с $B$ образует $A$. Чтобы множество $C$ считалось дополнением $B$ до $A$, должны выполняться два фундаментальных свойства: а) объединение множеств $B$ и $C$ должно быть равно множеству $A$, то есть $B \cup C = A$; б) множества $B$ и $C$ должны быть непересекающимися (дизъюнктными), то есть $B \cap C = \emptyset$.

Вопрос состоит в том, при каком условии разность $A \setminus B$ является таким дополнением. То есть, мы должны найти условие, при котором, если мы положим $C = A \setminus B$, оба вышеуказанных свойства будут выполнены.

Проверим эти два свойства для $C = A \setminus B$.

Сначала проверим условие непересекаемости: $B \cap (A \setminus B) = \emptyset$. По определению, в множество $A \setminus B$ входят только те элементы, которые не принадлежат множеству $B$. Следовательно, у множеств $B$ и $A \setminus B$ не может быть общих элементов. Их пересечение всегда пусто. Это свойство выполняется для любых множеств $A$ и $B$.

Теперь проверим условие объединения: $B \cup (A \setminus B) = A$. Это равенство выполняется не всегда. Проанализируем его. Чтобы объединение $B \cup (A \setminus B)$ было равно $A$, необходимо, чтобы выполнялось два включения: $B \cup (A \setminus B) \subseteq A$ и $A \subseteq B \cup (A \setminus B)$.

Рассмотрим первое включение: $B \cup (A \setminus B) \subseteq A$. Любой элемент из $A \setminus B$ по определению принадлежит $A$. Чтобы все объединение было подмножеством $A$, необходимо, чтобы и любой элемент из $B$ также принадлежал $A$. Это требование эквивалентно условию, что $B$ является подмножеством $A$, то есть $B \subseteq A$.

Рассмотрим второе включение: $A \subseteq B \cup (A \setminus B)$. Предположим, что условие $B \subseteq A$ выполнено. Возьмем любой элемент $x$ из множества $A$. Для него есть две возможности: либо $x \in B$, либо $x \notin B$. Если $x \in B$, то он автоматически попадает в объединение $B \cup (A \setminus B)$. Если $x \notin B$, то, поскольку мы знаем, что $x \in A$, элемент $x$ удовлетворяет определению разности $A \setminus B$. Значит, $x \in A \setminus B$, и он также попадает в объединение. Таким образом, при условии $B \subseteq A$, любой элемент из $A$ содержится в $B \cup (A \setminus B)$.

Следовательно, равенство $B \cup (A \setminus B) = A$ выполняется тогда и только тогда, когда $B \subseteq A$.

Итак, из двух свойств, определяющих дополнение, первое ($B \cap C = \emptyset$) выполняется всегда, а второе ($B \cup C = A$) — только при условии, что $B$ является подмножеством $A$.

Ответ: Разность $A \setminus B$ является дополнением множества $B$ до множества $A$ тогда и только тогда, когда множество $B$ является подмножеством множества $A$, то есть при выполнении условия $B \subseteq A$.