Номер 14, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

14. В каком случае объединение множеств $A$ и $B$ равно пересечению этих множеств?

Для того чтобы найти условие, при котором объединение множеств $A$ и $B$ равно их пересечению, необходимо проанализировать определения этих операций.

Объединение множеств $A$ и $B$, которое обозначается как $A \cup B$, — это множество, содержащее все элементы, принадлежащие хотя бы одному из исходных множеств. То есть, $x \in A \cup B$ тогда и только тогда, когда $x \in A$ или $x \in B$.

Пересечение множеств $A$ и $B$, которое обозначается как $A \cap B$, — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат одновременно обоим исходным множествам. То есть, $x \in A \cap B$ тогда и только тогда, когда $x \in A$ и $x \in B$.

Нам необходимо определить, при каком условии выполняется равенство: $$ A \cup B = A \cap B $$

По определению, любой элемент пересечения множеств также является элементом их объединения. Это означает, что пересечение всегда является подмножеством объединения: $$ A \cap B \subseteq A \cup B $$

Для того чтобы два множества были равны, они должны быть подмножествами друг друга. Таким образом, для выполнения равенства $A \cup B = A \cap B$ необходимо, чтобы выполнялось и обратное включение: $$ A \cup B \subseteq A \cap B $$

Рассмотрим, что означает это условие. Оно означает, что любой элемент, принадлежащий объединению, должен также принадлежать и пересечению.

1. Пусть $x$ — произвольный элемент множества $A$ (то есть $x \in A$). По определению объединения, этот элемент также принадлежит множеству $A \cup B$. Поскольку мы предположили, что $A \cup B \subseteq A \cap B$, то элемент $x$ должен принадлежать и множеству $A \cap B$. А это по определению пересечения означает, что $x$ принадлежит одновременно и $A$, и $B$. Таким образом, мы приходим к выводу, что любой элемент множества $A$ должен также быть элементом множества $B$. Это означает, что $A$ является подмножеством $B$ ($A \subseteq B$).
2. Проведем аналогичное рассуждение для множества $B$. Пусть $y$ — произвольный элемент множества $B$ (то есть $y \in B$). По определению объединения, $y \in A \cup B$. Из нашего условия $A \cup B \subseteq A \cap B$ следует, что $y$ должен принадлежать и $A \cap B$. Это значит, что $y$ принадлежит одновременно и $A$, и $B$. Следовательно, любой элемент множества $B$ должен также быть элементом множества $A$. Это означает, что $B$ является подмножеством $A$ ($B \subseteq A$).

Если одновременно выполняются два условия: $A \subseteq B$ и $B \subseteq A$, то по определению равенства множеств это означает, что множества $A$ и $B$ равны: $$ A = B $$

Таким образом, объединение множеств равно их пересечению только в том случае, если эти множества равны.

Проверка: Если $A = B$, то

• объединение $A \cup B = A \cup A = A$
• пересечение $A \cap B = A \cap A = A$

Следовательно, $A \cup B = A \cap B$, что и требовалось доказать.

Ответ: Объединение множеств $A$ и $B$ равно их пересечению тогда и только тогда, когда эти множества равны между собой, то есть $A=B$.