Номер 207, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

207. Зная, что $N$ — множество натуральных, $Z$ — множество целых, $Q$ — множество рациональных, $R$ — множество действительных чисел, найти:

1) $Q \setminus Z$;

2) $R \setminus Q$;

3) $Q \setminus N$;

4) $R \setminus Z$.

В задаче используются следующие обозначения числовых множеств:
$N$ – множество натуральных чисел: $\{1, 2, 3, ...\}$.
$Z$ – множество целых чисел: $\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$.
$Q$ – множество рациональных чисел, то есть чисел, представимых в виде дроби $m/n$, где $m \in Z, n \in N$.
$R$ – множество действительных чисел, включающее в себя рациональные и иррациональные числа.
Операция $A \setminus B$ (или $A \backslash B$) означает разность множеств, то есть множество, состоящее из всех элементов множества $A$, которые не принадлежат множеству $B$.

1) Q \ Z;

Требуется найти разность множества рациональных чисел $Q$ и множества целых чисел $Z$. Множество рациональных чисел $Q$ включает в себя все целые числа (например, $5 = 5/1$) и все дробные числа (например, $1/2, -3/4$). Поскольку множество целых чисел $Z$ является подмножеством множества рациональных чисел ($Z \subset Q$), при вычитании $Z$ из $Q$ мы удаляем все целые числа. В результате остаются только те рациональные числа, которые не являются целыми.
Ответ: множество дробных рациональных чисел.

2) R \ Q;

Требуется найти разность множества действительных чисел $R$ и множества рациональных чисел $Q$. По определению, множество действительных чисел $R$ состоит из объединения множества рациональных чисел $Q$ и множества иррациональных чисел (чисел, которые не могут быть представлены в виде дроби, например $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$). Таким образом, если из множества всех действительных чисел $R$ исключить все рациональные числа $Q$, останется в точности множество иррациональных чисел.
Ответ: множество иррациональных чисел.

3) Q \ N;

Требуется найти разность множества рациональных чисел $Q$ и множества натуральных чисел $N$. Множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$ является подмножеством множества рациональных чисел $Q$. При вычитании $N$ из $Q$ мы удаляем из рациональных чисел все положительные целые числа. В результирующем множестве останутся все остальные рациональные числа: отрицательные целые числа (..., -3, -2, -1), ноль (0) и все дробные рациональные числа (как положительные, так и отрицательные).
Ответ: множество всех рациональных чисел, которые не являются натуральными (то есть все отрицательные целые числа, ноль и все дробные числа).

4) R \ Z.

Требуется найти разность множества действительных чисел $R$ и множества целых чисел $Z$. Множество целых чисел $Z$ является подмножеством множества действительных чисел $R$. При вычитании $Z$ из $R$ мы удаляем из действительных чисел все целые числа (положительные, отрицательные и ноль). В результате остаются все действительные числа, которые не являются целыми. Это множество включает в себя все дробные рациональные числа (например, $1/2, -5.75$) и все иррациональные числа (например, $\sqrt{3}, \pi$).
Ответ: множество всех действительных чисел, не являющихся целыми (то есть множество, состоящее из всех дробных рациональных и всех иррациональных чисел).