Номер 213, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

213.Записать решение неравенства $x^2 - 7x + 6 \ge 0$, используя символику теории множеств.

Чтобы решить квадратное неравенство $x^2 - 7x + 6 \ge 0$, мы сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$. Это позволит нам определить, где квадратный трехчлен равен нулю.

Для нахождения корней воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25$
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 5}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 5}{2} = 6$
(Также можно было использовать теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 7$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 6$, откуда корни $1$ и $6$.)

Корни $x=1$ и $x=6$ – это точки, в которых парабола $y = x^2 - 7x + 6$ пересекает ось абсцисс. Так как коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Неравенство $x^2 - 7x + 6 \ge 0$ выполняется там, где график функции находится на оси абсцисс или выше нее. Для параболы с ветвями вверх это происходит на двух участках: слева от меньшего корня и справа от большего корня.

Таким образом, решение неравенства можно записать как совокупность двух условий: $x \le 1$ или $x \ge 6$.

Теперь запишем это решение, используя символику теории множеств. Множество решений $X$ можно представить несколькими способами.

1. В виде объединения числовых промежутков:
$X = (-\infty, 1] \cup [6, \infty)$

2. С помощью характеристического свойства (нотация построения множества):
$X = \{x \mid x \in \mathbb{R} \text{ и } (x \le 1 \text{ или } x \ge 6)\}$
Используя логический символ дизъюнкции ("или", $\lor$), запись становится более краткой:
$X = \{x \in \mathbb{R} \mid (x \le 1) \lor (x \ge 6)\}$

Оба формата являются корректной записью решения с использованием символики теории множеств.

Ответ: $(-\infty, 1] \cup [6, \infty)$ или $\{x \in \mathbb{R} \mid x \le 1 \lor x \ge 6\}$.