Номер 218, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

218. Найти $A \cup B \cup C$ и $A \cap B \cap C$, если:

1) $A = \{-2; -1; 0; 1; 2; 3\}$, $B = \{-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5\}$,

$C = \{0; 1; 2; 3; 4; -1; -2; -3\}$;

2) $A = \{x : x \le 1\}$, $B = \{x: -1 \le x \le 1, x \in \mathbb{Z}\}$,

$C = \{x : -2 \le x \le 0\}$.

1)

Даны множества:
$A = \{-2; -1; 0; 1; 2; 3\}$
$B = \{-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5\}$
$C = \{0; 1; 2; 3; 4; -1; -2; -3\}$
Для удобства упорядочим элементы множества $C$: $C = \{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4\}$.

Найдем объединение $A \cup B \cup C$
Объединение множеств — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. Для нахождения объединения $A \cup B \cup C$ мы должны собрать все уникальные элементы из всех трех множеств.
Элементы множества $A$: $\{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.
Добавляем уникальные элементы из множества $B$: $\{4, 5\}$.
Добавляем уникальные элементы из множества $C$: $\{-3\}$.
Собирая все эти элементы вместе и располагая их в порядке возрастания, получаем:
$A \cup B \cup C = \{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5\}$.

Найдем пересечение $A \cap B \cap C$
Пересечение множеств — это множество, содержащее только те элементы, которые принадлежат одновременно всем исходным множествам. Мы ищем элементы, которые есть и в $A$, и в $B$, и в $C$.
Сравним элементы множеств:
$A = \{-2; -1; 0; 1; 2; 3\}$
$B = \{-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5\}$
$C = \{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4\}$
Выберем общие для всех трех множеств элементы: $-1, 0, 1, 2, 3$.
Таким образом, пересечение множеств равно:
$A \cap B \cap C = \{-1; 0; 1; 2; 3\}$.

Ответ: $A \cup B \cup C = \{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5\}$; $A \cap B \cap C = \{-1; 0; 1; 2; 3\}$.

2)

Даны множества, определенные через свойства их элементов:
$A = \{x : x \le 1\}$, то есть это множество всех действительных чисел, не превосходящих 1. В виде числового промежутка это $(-\infty; 1]$.
$B = \{x : -1 \le x \le 1, x \in \mathbb{Z}\}$, где $\mathbb{Z}$ — множество целых чисел. Перечислив элементы, входящие в этот диапазон, получаем $B = \{-1; 0; 1\}$.
$C = \{x : -2 \le x \le 0\}$, то есть это множество всех действительных чисел от -2 до 0 включительно. В виде числового промежутка это отрезок $[-2; 0]$.

Найдем объединение $A \cup B \cup C$
Объединим множества $A$, $B$ и $C$.
Множество $A = (-\infty; 1]$
Множество $B = \{-1; 0; 1\}$
Множество $C = [-2; 0]$
Сначала объединим $A$ и $C$: $A \cup C = (-\infty; 1] \cup [-2; 0]$. Так как отрезок $[-2; 0]$ полностью содержится в луче $(-\infty; 1]$, их объединение равно самому лучу $A = (-\infty; 1]$.
Теперь добавим к результату множество $B$: $(A \cup C) \cup B = A \cup B$. Все элементы множества $B$ (числа $-1, 0, 1$) удовлетворяют условию $x \le 1$, а значит, они уже содержатся в множестве $A$. Таким образом, $B$ является подмножеством $A$ ($B \subset A$). Объединение множества с его подмножеством равно самому множеству.
Следовательно, $A \cup B \cup C = A = \{x : x \le 1\}$.

Найдем пересечение $A \cap B \cap C$
Пересечение содержит элементы, общие для всех трех множеств. Элемент $x$ должен одновременно удовлетворять трем условиям:
1) $x \in A \implies x \le 1$
2) $x \in B \implies x \in \{-1; 0; 1\}$
3) $x \in C \implies -2 \le x \le 0$
Поскольку множество $B$ конечное, удобнее всего проверить каждый его элемент на принадлежность множествам $A$ и $C$.
- Для $x = -1$: Условие $x \le 1$ выполнено ($-1 \le 1$). Условие $-2 \le x \le 0$ выполнено ($-2 \le -1 \le 0$). Значит, $-1$ входит в пересечение.
- Для $x = 0$: Условие $x \le 1$ выполнено ($0 \le 1$). Условие $-2 \le x \le 0$ выполнено ($-2 \le 0 \le 0$). Значит, $0$ входит в пересечение.
- Для $x = 1$: Условие $x \le 1$ выполнено ($1 \le 1$). Условие $-2 \le x \le 0$ не выполнено ($1 > 0$). Значит, $1$ не входит в пересечение.
Таким образом, общими для всех трех множеств являются только элементы $-1$ и $0$.
Следовательно, $A \cap B \cap C = \{-1; 0\}$.

Ответ: $A \cup B \cup C = \{x : x \le 1\}$; $A \cap B \cap C = \{-1; 0\}$.