Номер 221, страница 70 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

221. Оформить решение неравенства, используя символику теории множеств:

1) $(x+3)(2x-1) > 0$;

2) $(3x+2)(x-4) < 0$.

1) $(x+3)(2x-1) > 0$

Произведение двух выражений больше нуля тогда и только тогда, когда оба выражения имеют одинаковый знак (оба положительны или оба отрицательны). Данное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств. Множество решений исходного неравенства будет объединением множеств решений этих систем.

$ \left[ \begin{gathered} \begin{cases} x+3 > 0 \\ 2x-1 > 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x+3 < 0 \\ 2x-1 < 0 \end{cases} \end{gathered} \right. $

Рассмотрим первую систему:

$ \begin{cases} x > -3 \\ 2x > 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > -3 \\ x > 1/2 \end{cases} $

Решением этой системы является пересечение множеств $\{x \mid x > -3\}$ и $\{x \mid x > 1/2\}$. Результатом является множество $\{x \mid x > 1/2\}$, которое можно записать в виде интервала $(1/2, +\infty)$.

Рассмотрим вторую систему:

$ \begin{cases} x < -3 \\ 2x < 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x < -3 \\ x < 1/2 \end{cases} $

Решением этой системы является пересечение множеств $\{x \mid x < -3\}$ и $\{x \mid x < 1/2\}$. Результатом является множество $\{x \mid x < -3\}$, которое можно записать в виде интервала $(-\infty, -3)$.

Итоговое множество решений исходного неравенства есть объединение множеств, полученных при решении двух систем:

$(-\infty, -3) \cup (1/2, +\infty)$

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (1/2, +\infty)$.

2) $(3x+2)(x-4) < 0$

Произведение двух выражений меньше нуля тогда и только тогда, когда выражения имеют разные знаки. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств. Множество решений исходного неравенства будет объединением множеств решений этих систем.

$ \left[ \begin{gathered} \begin{cases} 3x+2 > 0 \\ x-4 < 0 \end{cases} \\ \begin{cases} 3x+2 < 0 \\ x-4 > 0 \end{cases} \end{gathered} \right. $

Рассмотрим первую систему:

$ \begin{cases} 3x > -2 \\ x < 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > -2/3 \\ x < 4 \end{cases} $

Решением этой системы является пересечение множеств $\{x \mid x > -2/3\}$ и $\{x \mid x < 4\}$. Результатом является множество $\{x \mid -2/3 < x < 4\}$, которое можно записать в виде интервала $(-2/3, 4)$.

Рассмотрим вторую систему:

$ \begin{cases} 3x < -2 \\ x > 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x < -2/3 \\ x > 4 \end{cases} $

Пересечение множеств $\{x \mid x < -2/3\}$ и $\{x \mid x > 4\}$ является пустым множеством $\emptyset$, так как не существует числа, которое одновременно меньше $-2/3$ и больше $4$.

Итоговое множество решений исходного неравенства есть объединение множеств, полученных при решении двух систем:

$(-2/3, 4) \cup \emptyset = (-2/3, 4)$

Ответ: $x \in (-2/3, 4)$.