Номер 3, страница 75 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Привести пример отрицания некоторого высказывания.

В математической логике высказыванием называют любое повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл говорить, истинно оно или ложно. Отрицанием высказывания $A$ называется новое высказывание, которое является истинным, если исходное высказывание $A$ ложно, и ложным, если $A$ истинно. Операция отрицания обозначается символом $\neg$ (например, $\neg A$) или чертой над высказыванием ($\bar{A}$).

Построение отрицания зависит от структуры исходного высказывания.

Для простого утверждения отрицание обычно формируется добавлением частицы «не» или оборота «неверно, что...».
Например, возьмем истинное высказывание:
Высказывание: «Волга впадает в Каспийское море».
Его отрицание: «Волга не впадает в Каспийское море» (или «Неверно, что Волга впадает в Каспийское море»). Это отрицание является ложным.

Для математических высказываний нужно быть внимательным.
Например, для истинного высказывания:
Высказывание: «$15 > 10$».
Его отрицание: «$15 \le 10$». Отрицанием строгого знака «больше» ($>$) является знак «меньше или равно» ($\le$), а не просто «меньше» ($<$). Это отрицание ложно.

Особые правила существуют для высказываний с кванторами (словами «все», «каждый», «любой», «некоторые», «существует»).
Рассмотрим высказывание с квантором всеобщности «все»:
Высказывание: «Все четные числа делятся на 2». (Истинное высказывание).
Его отрицание: «Существует четное число, которое не делится на 2». (Ложное высказывание).
Здесь для построения отрицания квантор «все» ($\forall$) меняется на квантор существования «существует» ($\exists$), а само утверждение под квантором отрицается. Ошибочно было бы сказать: «Все четные числа не делятся на 2».

Теперь рассмотрим высказывание с квантором существования «некоторые» (или «существует»):
Высказывание: «Некоторые грибы ядовиты». (Истинное высказывание).
Его отрицание: «Все грибы не являются ядовитыми» (или «Ни один гриб не является ядовитым»). (Ложное высказывание).
Здесь для построения отрицания квантор «существует» ($\exists$) меняется на квантор всеобщности «все» ($\forall$), а утверждение под квантором отрицается.

Ответ:
Приведем пример отрицания для сложного высказывания с квантором.
Исходное высказывание: «Все ученики в классе решили задачу».
Отрицание: «Неверно, что все ученики в классе решили задачу». Эту фразу можно переформулировать более точно: «Найдется хотя бы один ученик в классе, который не решил задачу» или «Некоторые ученики в классе не решили задачу».