Номер 8, страница 76 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

8. Объяснить запись $(\forall x)p(x).$

8.

Запись $(\forall x)p(x)$ является фундаментальной конструкцией в логике предикатов (также известной как исчисление предикатов). Она представляет собой утверждение, в котором используется квантор. Чтобы понять его смысл, разберем запись по частям:

1. Символ $\forall$ — это квантор всеобщности. Он является перевернутой буквой 'A' от английского слова "All" (все). Этот символ читается как: "для любого", "для каждого" или "для всякого". Он указывает, что утверждение, следующее за ним, относится ко всем элементам из рассматриваемого множества.

2. $x$ — это предметная переменная. Она символизирует произвольный элемент из некоторого заранее определенного множества, которое называется областью определения, предметной областью или универсумом. Например, универсумом может быть множество всех действительных чисел, всех людей, всех треугольников и т.д.

3. $p(x)$ — это предикат (или пропозициональная функция). Предикат представляет собой утверждение или свойство, которое относится к переменной $x$. Сам по себе предикат не является истинным или ложным, но он становится таковым, когда вместо переменной $x$ подставляется конкретное значение из области определения. Например, если $p(x)$ — это "$x > 0$", то $p(5)$ — истинно, а $p(-2)$ — ложно.

Соединяя все части вместе, запись $(\forall x)p(x)$ выражает целостное утверждение, которое читается как: "Для любого элемента $x$ из универсума верно, что $x$ обладает свойством $p$".

Условия истинности:

• Утверждение $(\forall x)p(x)$ является истинным, если и только если предикат $p(x)$ обращается в истинное высказывание для каждого элемента $x$ из области определения.
• Утверждение $(\forall x)p(x)$ является ложным, если найдется хотя бы один элемент $x_0$ в области определения, для которого $p(x_0)$ ложно. Такой элемент $x_0$ называется контрпримером.

Пример из математики:
Пусть областью определения является множество всех действительных чисел ($\mathbb{R}$), а предикат $p(x)$ — это $x^2 \ge 0$.
Тогда утверждение $(\forall x)(x^2 \ge 0)$ означает "Для любого действительного числа $x$ верно, что его квадрат больше или равен нулю". Это утверждение является истинным, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.
Если же взять предикат $q(x)$ как $x > 0$, то утверждение $(\forall x)(x > 0)$ будет ложным. В качестве контрпримера можно взять $x = -5$ или $x = 0$, для которых свойство "быть больше нуля" не выполняется.

Ответ: Запись $(\forall x)p(x)$ — это логическое утверждение, которое гласит, что предикат (свойство) $p(x)$ является истинным для каждого элемента $x$ из заданной области определения (универсума). Символ $\forall$ называется квантором всеобщности и читается как "для любого" или "для каждого".