Номер 6, страница 76 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

6. Какие предложения называются равносильными?

Равносильными (или эквивалентными) называются два предложения (высказывания, уравнения, неравенства и т.д.), которые истинны или ложны одновременно. То есть, если истинно одно предложение, то истинно и другое, и наоборот. Формально, предложение $A$ равносильно предложению $B$, если из $A$ следует $B$ ($A \implies B$), и из $B$ следует $A$ ($B \implies A$). Это отношение обозначается символом $A \Leftrightarrow B$.

Понятие равносильности широко используется в различных областях математики, в первую очередь в логике и алгебре.

В математической логике

Два высказывания считаются равносильными, если их таблицы истинности полностью совпадают. Это означает, что при любых наборах истинностных значений входящих в них простых высказываний, они принимают одинаковое значение (либо "истина", либо "ложь").
Пример: Закон де Моргана гласит, что высказывание $\neg(P \land Q)$ (неверно, что P и Q) равносильно высказыванию $(\neg P) \lor (\neg Q)$ (неверно P или неверно Q). Их равносильность $ \neg(P \land Q) \Leftrightarrow (\neg P) \lor (\neg Q) $ можно доказать с помощью таблицы истинности.

В алгебре (уравнения и неравенства)

В контексте решения уравнений и неравенств равносильность означает совпадение множеств решений.

• Равносильные уравнения — это уравнения, у которых множества решений идентичны. Уравнения, не имеющие решений, также считаются равносильными друг другу.
  Пример 1: Уравнения $3x - 6 = 0$ и $x = 2$ равносильны, так как оба имеют единственное решение $x=2$.
  Пример 2: Уравнения $x^2 = -4$ и $|x| = -1$ равносильны, поскольку оба не имеют решений в множестве действительных чисел (их множество решений пустое).
  Контрпример: Уравнения $x^2 = 25$ и $x = 5$ не равносильны. Первое уравнение имеет два корня, $x=5$ и $x=-5$, а второе — только один, $x=5$. Их множества решений $\{ -5, 5 \}$ и $\{ 5 \}$ не совпадают.
• Равносильные неравенства — это неравенства, у которых совпадают множества решений.
  Пример: Неравенства $2x > 8$ и $x - 1 > 3$ равносильны. Решением первого является $x > 4$, решением второго — также $x > 4$. Множество решений для обоих — это интервал $(4, +\infty)$.

Для решения уравнений и неравенств используются равносильные преобразования — действия, которые превращают исходное выражение в более простое, но равносильное ему. Основные равносильные преобразования включают: перенос слагаемых из одной части в другую с изменением знака; умножение или деление обеих частей на одно и то же ненулевое число (с учётом смены знака для неравенств при умножении/делении на отрицательное число).

Ответ: Равносильными называются предложения, которые истинны при одних и тех же условиях (т.е. имеют одинаковое множество истинности). В алгебре равносильными называют уравнения или неравенства, имеющие одинаковые множества решений.