Номер 9, страница 76 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

9. Объяснить запись $(\exists x)p(x)$.

Запись $(\exists x)p(x)$ является фундаментальным выражением в логике предикатов и используется для формулировки утверждений о существовании.

Она читается как: «существует такое $x$, что $p(x)$ истинно», или «найдется $x$, для которого верно $p(x)$».

Разберем эту запись на составные части:

• $\exists$ — это символ, который называется квантором существования. Он происходит от английского слова "Exists" (существует). Этот квантор утверждает, что есть по крайней мере один элемент в рассматриваемой области, который обладает указанным свойством.

• $x$ — это предметная переменная. Она обозначает произвольный элемент из некоторого заранее определенного множества, которое называется предметной областью или универсумом рассмотрения (например, множество всех целых чисел, множество всех людей, множество геометрических фигур и т.д.).

• $p(x)$ — это предикат или высказывательная функция. Это утверждение, содержащее переменную $x$, которое становится истинным или ложным в зависимости от того, какое конкретное значение из предметной области принимает переменная $x$. Например, если $p(x)$ — это "$x$ является четным числом", то $p(4)$ будет истинным, а $p(5)$ — ложным.

Таким образом, вся запись $(\exists x)p(x)$ является законченным высказыванием, которое утверждает истинность существования хотя бы одного элемента $x$ в заданной предметной области, при подстановке которого в предикат $p(x)$ последний обращается в истинное высказывание.

Пример 1:

Пусть предметная область — это множество натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$, а предикат $p(x)$ — это утверждение "$x < 5$". Тогда высказывание $(\exists x)p(x)$ означает "существует натуральное число $x$, которое меньше 5". Это высказывание является истинным, поскольку мы можем указать такие числа, например, $x=1$, $x=2$, $x=3$ или $x=4$.

Пример 2:

Пусть предметная область — это множество действительных чисел $\mathbb{R}$, а предикат $p(x)$ — это уравнение "$x^2 + 1 = 0$". Тогда высказывание $(\exists x)p(x)$ означает "существует действительное число $x$, такое что $x^2 + 1 = 0$". Это высказывание является ложным, так как нет такого действительного числа, квадрат которого равен $-1$.

Ответ: Запись $(\exists x)p(x)$ — это логическое высказывание, которое утверждает, что в некоторой предметной области существует по крайней мере один элемент $x$, для которого свойство $p(x)$ является истинным. Символ $\exists$ называется квантором существования, $x$ — предметной переменной, а $p(x)$ — предикатом.