Номер 16, страница 76 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

16. Какие теоремы называют взаимно противоположными?

Взаимно противоположными называют две теоремы, если условие и заключение одной из них являются отрицаниями соответственно условия и заключения другой. Чтобы полностью понять это определение, рассмотрим структуру теорем.

Большинство теорем в математике формулируются как условные утверждения вида «Если А, то В». Такую теорему называют прямой теоремой. В символической форме она записывается как $A \Rightarrow B$, где $A$ — это условие (посылка), а $B$ — заключение (следствие).

Противоположной теоремой для прямой теоремы ($A \Rightarrow B$) является теорема, в которой и условие, и заключение заменены на их отрицания. Она имеет вид: «Если не А, то не В». Символически это записывается как $\neg A \Rightarrow \neg B$.

Именно эти две теоремы — прямая ($A \Rightarrow B$) и противоположная ($\neg A \Rightarrow \neg B$) — и называются взаимно противоположными.

Ключевой особенностью взаимно противоположных теорем является то, что они не являются логически эквивалентными. Истинность одной из них не гарантирует истинность другой.

Пример:

Прямая теорема: «Если четырёхугольник является квадратом, то его диагонали равны».
Это утверждение истинно.

Взаимно противоположная ей теорема: «Если четырёхугольник не является квадратом, то его диагонали не равны».
Это утверждение ложно. Например, равнобедренная трапеция или прямоугольник не являются квадратами, но их диагонали равны.

Стоит отметить, что существует еще одна пара взаимно противоположных теорем: обратная теорема ($B \Rightarrow A$) и теорема, противоположная обратной ($\neg B \Rightarrow \neg A$). Они также связаны тем, что условие и заключение одной являются отрицанием условия и заключения другой.

Ответ: Взаимно противоположными называют пару теорем, в которой условие и заключение одной теоремы являются отрицаниями соответственно условия и заключения другой теоремы. Если первая теорема имеет вид «Если $A$, то $B$», то противоположная ей будет «Если не $A$, то не $B$».