Номер 15, страница 76 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

15. В каких случаях при формулировках теорем используют термин «необходимо и достаточно»?

Термин «необходимо и достаточно» используется при формулировке теорем, которые устанавливают логическую эквивалентность двух утверждений. Это означает, что одно утверждение является верным тогда и только тогда, когда верно и другое. По сути, такая формулировка объединяет в себе две теоремы: прямую и обратную.

Рассмотрим два утверждения, А и В. Формулировка «Для В необходимо и достаточно А» означает, что верны оба следующих утверждения:

1. Из А следует В ($A \Rightarrow B$). Это достаточное условие.
2. Из В следует А ($B \Rightarrow A$). Это необходимое условие.

Вместе это записывается как $A \Leftrightarrow B$ (А эквивалентно В).

Достаточное условие

Утверждение А является достаточным для утверждения В, если из истинности А всегда следует истинность В. Иными словами, выполнения условия А достаточно для того, чтобы было выполнено условие В.

Пример: «Если число делится на 10 (утверждение А), то оно делится на 5 (утверждение В)». Делимость на 10 — это достаточное условие для делимости на 5. Но не необходимое (например, число 15 делится на 5, но не на 10).

Необходимое условие

Утверждение А является необходимым для утверждения В, если из истинности В всегда следует истинность А. То есть, если А неверно, то и В не может быть верным. Выполнение условия А необходимо для выполнения В.

Пример: «Чтобы число было простым (утверждение В), необходимо, чтобы оно было натуральным (утверждение А)». Быть натуральным числом — это необходимое условие, чтобы быть простым. Но не достаточное (например, число 6 — натуральное, но не простое).

Когда используется «необходимо и достаточно»?

Эта формулировка используется, когда условие является одновременно и необходимым, и достаточным. Такие теоремы часто называют критериями.

Классический пример из геометрии:

Пусть утверждение А — «Диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам».

Пусть утверждение В — «Четырехугольник является параллелограммом».

1. Достаточность ($A \Rightarrow B$): Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. (Прямая теорема — признак параллелограмма).
2. Необходимость ($B \Rightarrow A$): Если четырехугольник является параллелограммом, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам. (Обратная теорема — свойство параллелограмма).

Поскольку верны оба утверждения, их можно объединить в одно с помощью оборота «необходимо и достаточно»:

«Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали точкой пересечения делились пополам».

Ответ: Термин «необходимо и достаточно» используют при формулировке теорем, которые устанавливают равносильность двух утверждений (критериев). Такая теорема по своей сути объединяет прямую и обратную теоремы, показывая, что если истинно одно утверждение, то истинно и второе, и наоборот ($A \Leftrightarrow B$).