Номер 17, страница 76 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

17. Какую теорему называют противоположной обратной?

Чтобы понять, какую теорему называют «противоположной обратной», рассмотрим исходную (прямую) теорему. Любую теорему можно представить в виде условного утверждения: «Если А, то В», где А — это условие (посылка), а В — заключение (следствие). В символической форме это записывается как $A \Rightarrow B$.

С этой прямой теоремой связаны три другие производные теоремы:

• Обратная теорема: условие и заключение исходной теоремы меняются местами. Формулировка: «Если В, то А». Символически: $B \Rightarrow A$.
• Противоположная теорема: условие и заключение исходной теоремы заменяются на их отрицания. Формулировка: «Если не А, то не В». Символически: $\neg A \Rightarrow \neg B$.
• Теорема, противоположная обратной: это теорема, которая является противоположной для обратной теоремы.

Рассмотрим, как она образуется по шагам. Сначала для исходной теоремы ($A \Rightarrow B$) строится обратная ей теорема ($B \Rightarrow A$). Затем для этой новой, обратной теоремы, строится противоположная. Для этого ее условие (B) и заключение (A) заменяются на их отрицания («не В» и «не А»). В результате получается утверждение: «Если не В, то не А». Символически это записывается как $\neg B \Rightarrow \neg A$.

Эта теорема также известна под более современным названием — контрапозиция. Важнейшее свойство теоремы, противоположной обратной, заключается в том, что она логически эквивалентна исходной прямой теореме. Это означает, что утверждения $A \Rightarrow B$ и $\neg B \Rightarrow \neg A$ всегда либо одновременно истинны, либо одновременно ложны. Это свойство (закон контрапозиции) является фундаментальным в логике и математике и часто используется в доказательствах.

Пример:

• Прямая теорема: «Если четырехугольник является квадратом (А), то его диагонали перпендикулярны (В)». ($A \Rightarrow B$). Это истинное утверждение.
• Теорема, противоположная обратной (контрапозиция): «Если диагонали четырехугольника не перпендикулярны ($\neg B$), то он не является квадратом ($\neg A$)». ($\neg B \Rightarrow \neg A$). Это также истинное утверждение, что иллюстрирует их логическую эквивалентность.

Ответ: Теоремой, противоположной обратной, по отношению к исходной теореме «Если А, то В» ($A \Rightarrow B$) называют теорему «Если не В, то не А» ($\neg B \Rightarrow \neg A$). В этой теореме условием является отрицание заключения исходной теоремы, а заключением — отрицание ее условия. Эта теорема логически эквивалентна исходной и также называется контрапозицией.