Номер 226, страница 76 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

226. Найти множество истинности для предложения $ \overline{p(x)} $, если дано предложение $ p(x) $:

1) $ -1 \le x \le 2 $;

2) $ x \in (-\infty; 4) \cup (5; +\infty) $;

3) $ -x^2 - 3x + 4 = 0 $;

4) $ x^2 + 1 \le 0 $.

В логике предложение $\overline{p(x)}$ (отрицание $p(x)$) означает, что мы ищем все значения переменной, которые не входят в множество истинности исходного предложения $p(x)$. Множество истинности отрицания — это дополнение множества истинности $p(x)$ до всего множества действительных чисел $\mathbb{R}$.

1) $p(x): -1 \le x \le 2$

Множеством истинности является отрезок $[-1; 2]$. Отрицанием будет всё, что лежит строго левее $-1$ или строго правее $2$.

$\overline{p(x)}: x < -1$ или $x > 2$.

]

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$

2) $p(x): x \in (-\infty; 4) \cup (5; +\infty)$

Здесь $p(x)$ исключает промежуток между $4$ и $5$ (включая сами границы). Отрицание "заполнит" этот пробел, включая точки $4$ и $5$, так как в исходном множестве их не было (скобки круглые).

$\overline{p(x)}: 4 \le x \le 5$.

]

Ответ: $x \in [4; 5]$

3) $p(x): -x^2 - 3x + 4 = 0$

Сначала найдем корни уравнения. Умножим на $-1$: $x^2 + 3x - 4 = 0$. По теореме Виета корни: $x_1 = 1, x_2 = -4$. Множество истинности $p(x) = \{-4; 1\}$.

Отрицанием будут все действительные числа, кроме этих двух конкретных точек.

$\overline{p(x)}: x^2 + 3x - 4 \neq 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; 1) \cup (1; +\infty)$

4) $p(x): x^2 + 1 \le 0$

Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 1$ всегда $\ge 1$. Это значит, что неравенство $x^2 + 1 \le 0$ не имеет решений (пустое множество $\varnothing$).

Отрицанием пустого множества является всё множество действительных чисел.

$\overline{p(x)}: x^2 + 1 > 0$ (истинно для любого $x$).

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$