Номер 232, страница 77 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

232. Привести контрпример, опровергающий утверждение:

1) в любой четырёхугольник можно вписать окружность;

2) для любого треугольника сумма квадратов двух его сторон равна квадрату третьей стороны;

3) сумма чисел с разными знаками есть число отрицательное;

4) в равнобедренном треугольнике один угол тупой.

1) в любой четырёхугольник можно вписать окружность

Данное утверждение неверно. Для того чтобы в выпуклый четырёхугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противолежащих сторон были равны (теорема Пито). То есть для четырёхугольника со сторонами $a, b, c, d$ должно выполняться равенство $a+c = b+d$.

В качестве контрпримера рассмотрим прямоугольник, который не является квадратом. Пусть его смежные стороны равны 3 и 5. Тогда длины его сторон последовательно равны 3, 5, 3, 5. Найдём суммы противолежащих сторон: $3 + 3 = 6$ $5 + 5 = 10$

Поскольку $6 \neq 10$, условие для вписанной окружности не выполняется.

Ответ: Прямоугольник со сторонами 3 и 5, так как суммы его противоположных сторон не равны ($3+3 \neq 5+5$).

2) для любого треугольника сумма квадратов двух его сторон равна квадрату третьей стороны

Это утверждение является формулировкой теоремы Пифагора, которая справедлива только для прямоугольных треугольников. В общем случае для произвольного треугольника эта формула не работает.

В качестве контрпримера возьмём равносторонний треугольник со стороной $a=4$. Для него все стороны равны. Проверим, выполняется ли утверждение: $a^2 + a^2 = a^2$ $4^2 + 4^2 = 4^2$ $16 + 16 = 16$ $32 = 16$

Полученное равенство неверно. Следовательно, утверждение опровергнуто.

Ответ: Равносторонний треугольник со стороной 4, так как для него $4^2+4^2 \neq 4^2$.

3) сумма чисел с разными знаками есть число отрицательное

Утверждение неверно. Знак суммы двух чисел с разными знаками зависит от того, модуль какого из слагаемых больше. Если модуль положительного числа больше модуля отрицательного, то и сумма будет положительной.

Рассмотрим в качестве контрпримера сумму чисел 5 и -2. Это числа с разными знаками. $5 + (-2) = 5 - 2 = 3$

Результат равен 3, что является положительным числом.

Ответ: Сумма чисел 5 и -2 равна 3, что является положительным числом.

4) в равнобедренном треугольнике один угол тупой

Утверждение неверно. Равнобедренный треугольник может быть не только тупоугольным, но и прямоугольным или остроугольным. Тупым называется угол, градусная мера которого больше $90^\circ$.

Контрпримером служит любой равносторонний треугольник. Он является частным случаем равнобедренного (у него равны не две, а все три стороны). Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. $60^\circ \lt 90^\circ$, то есть все углы являются острыми.

Другой контрпример — равнобедренный прямоугольный треугольник, углы которого равны $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$. Ни один из углов не является тупым.

Ответ: Равносторонний треугольник, все углы которого равны $60^\circ$.