Номер 233, страница 77 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

233. Доказать или опровергнуть высказывание:

1) сумма двух последовательных натуральных чисел есть число чётное;

2) сумма трёх последовательных натуральных чисел делится на 3.

1) сумма двух последовательных натуральных чисел есть число чётное

Данное высказывание является ложным. Чтобы его опровергнуть, достаточно привести один контрпример.

Возьмём два любых последовательных натуральных числа, например, 1 и 2. Их сумма равна:

$1 + 2 = 3$

Число 3 является нечётным, что противоречит утверждению.

Докажем это в общем виде. Пусть $n$ – произвольное натуральное число ($n \in \mathbb{N}$). Тогда следующее за ним натуральное число – это $n + 1$.

Найдем их сумму $S$:

$S = n + (n + 1) = 2n + 1$

Чётное число имеет общую формулу $2k$, где $k$ – целое число. Нечётное число имеет формулу $2k + 1$. Выражение $2n$ всегда будет чётным, поскольку оно является произведением числа 2 и натурального числа $n$. Сумма чётного числа ($2n$) и единицы ($1$) всегда является нечётным числом. Следовательно, сумма двух последовательных натуральных чисел всегда нечётна.

Ответ: высказывание неверно (опровергнуто).

2) сумма трёх последовательных натуральных чисел делится на 3

Данное высказывание является истинным. Докажем это для любого набора из трёх последовательных натуральных чисел.

Пусть $n$ – первое из трёх последовательных натуральных чисел ($n \in \mathbb{N}$). Тогда следующие два числа будут $n + 1$ и $n + 2$.

Найдём их сумму $S$:

$S = n + (n + 1) + (n + 2)$

Упростим выражение, приведя подобные слагаемые:

$S = 3n + 3$

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$S = 3(n + 1)$

Поскольку $n$ – натуральное число, то $n + 1$ также является натуральным числом (а значит и целым). Полученное выражение для суммы $S$ представляет собой произведение числа 3 и целого числа $(n + 1)$. По определению, если число можно представить в виде произведения тройки и другого целого числа, оно делится на 3 нацело.

Например, для чисел 4, 5, 6 их сумма равна $4 + 5 + 6 = 15$. Число 15 делится на 3 ($15 = 3 \times 5$).

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: высказывание верно (доказано).