Номер 230, страница 77 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

230. Сформулировать теорему, обратную теореме:

1) сумма противоположных углов четырёхугольника, вписанного в окружность, равна $180^\circ$;

2) если две параллельные прямые пересечены третьей, то образовавшиеся накрест лежащие углы равны;

3) около любого прямоугольника можно описать окружность.

Установить, истинной или ложной является каждая из сформулированных теорем.

1) Исходная теорема: Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна $180^\circ$.

Чтобы сформулировать обратную теорему, нужно поменять местами условие (четырехугольник вписан в окружность) и заключение (сумма его противоположных углов равна $180^\circ$).

Формулировка обратной теоремы: Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180^\circ$, то около этого четырехугольника можно описать окружность.

Проверка истинности: Эта теорема является признаком вписанного четырехугольника. Она верна. Если в выпуклом четырехугольнике сумма одной пары противоположных углов равна $180^\circ$, то и сумма другой пары тоже равна $180^\circ$ (так как сумма всех углов четырехугольника $360^\circ$), и вокруг такого четырехугольника действительно можно описать окружность. Утверждение истинно.

Ответ: Обратная теорема: "Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180^\circ$, то около него можно описать окружность". Теорема истинна.

2) Исходная теорема: Если две параллельные прямые пересечены третьей, то образовавшиеся накрест лежащие углы равны.

Меняем местами условие (две прямые параллельны) и заключение (накрест лежащие углы равны).

Формулировка обратной теоремы: Если при пересечении двух прямых третьей (секущей) накрест лежащие углы равны, то эти две прямые параллельны.

Проверка истинности: Это утверждение является одним из основных признаков параллельности прямых. Оно истинно.

Ответ: Обратная теорема: "Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны". Теорема истинна.

3) Исходная теорема: Около любого прямоугольника можно описать окружность.

В форме "если..., то...": Если четырехугольник является прямоугольником, то около него можно описать окружность. Меняем местами условие и заключение.

Формулировка обратной теоремы: Если около четырехугольника можно описать окружность, то этот четырехугольник является прямоугольником.

Проверка истинности: Это утверждение ложно. Четырехугольник, вписанный в окружность, не обязательно является прямоугольником. Например, в окружность можно вписать любую равнобедренную трапецию, которая не является прямоугольником (ее углы не равны $90^\circ$). Так как существует хотя бы один контрпример, утверждение считается ложным.

Ответ: Обратная теорема: "Если около четырехугольника можно описать окружность, то он является прямоугольником". Теорема ложна.