Номер 228, страница 76 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

228. Для каждого из утверждений $p(x)$:
1) треугольник $x$ — равнобедренный;
2) параллелограмм $x$ является квадратом;
3) вписанный угол $x$ равен половине дуги, на которую он опирается;
4) у четырёхугольника $x$ сумма внутренних углов равна $360^{\circ}$ — определить, истинным или ложным является высказывание $(\forall x)p(x)$; $(\exists x)p(x)$.

Для решения задачи необходимо определить истинность или ложность высказываний с кванторами всеобщности $(\forall x)p(x)$ ("для любого $x$ верно $p(x)$") и существования $(\exists x)p(x)$ ("существует $x$, для которого верно $p(x)$") для каждого из предложенных утверждений $p(x)$.

1) треугольник x — равнобедренный
Здесь предикат $p(x)$ — "треугольник $x$ является равнобедренным". Областью определения переменной $x$ является множество всех треугольников.
- Высказывание $(\forall x)p(x)$ читается как "любой треугольник является равнобедренным". Это утверждение ложно. В качестве контрпримера можно привести разносторонний треугольник, например, со сторонами 3, 4 и 5, у которого нет равных сторон.
- Высказывание $(\exists x)p(x)$ читается как "существует треугольник, который является равнобедренным". Это утверждение истинно. Например, любой равносторонний треугольник является равнобедренным, или треугольник со сторонами 5, 5 и 6.
Ответ: высказывание $(\forall x)p(x)$ ложно, высказывание $(\exists x)p(x)$ истинно.

2) параллелограмм x является квадратом
Предикат $p(x)$ — "параллелограмм $x$ является квадратом". Областью определения $x$ является множество всех параллелограммов.
- Высказывание $(\forall x)p(x)$ означает "любой параллелограмм является квадратом". Это утверждение ложно. Квадрат — это частный случай параллелограмма. Существуют параллелограммы, которые не являются квадратами, например, прямоугольник с неравными смежными сторонами или ромб с углами, не равными $90^\circ$.
- Высказывание $(\exists x)p(x)$ означает "существует параллелограмм, который является квадратом". Это утверждение истинно, так как квадрат по определению является параллелограммом, у которого все стороны и углы равны.
Ответ: высказывание $(\forall x)p(x)$ ложно, высказывание $(\exists x)p(x)$ истинно.

3) вписанный угол x равен половине дуги, на которую он опирается
Предикат $p(x)$ — "вписанный угол $x$ равен половине дуги, на которую он опирается". Областью определения $x$ является множество всех вписанных углов окружности.
- Высказывание $(\forall x)p(x)$ означает "любой вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается". Это утверждение является известной теоремой планиметрии. Следовательно, оно истинно.
- Высказывание $(\exists x)p(x)$ означает "существует вписанный угол, который равен половине дуги, на которую он опирается". Поскольку утверждение истинно для всех вписанных углов, оно, очевидно, истинно и для хотя бы одного из них (при условии, что множество вписанных углов не пусто). Следовательно, это высказывание также истинно.
Ответ: высказывание $(\forall x)p(x)$ истинно, высказывание $(\exists x)p(x)$ истинно.

4) у четырёхугольника x сумма внутренних углов равна 360°
Предикат $p(x)$ — "у четырёхугольника $x$ сумма внутренних углов равна $360^\circ$". Областью определения $x$ является множество всех (простых) четырёхугольников.
- Высказывание $(\forall x)p(x)$ означает "у любого четырёхугольника сумма внутренних углов равна $360^\circ$". Это является теоремой о сумме углов многоугольника для $n=4$: $(4-2) \times 180^\circ = 360^\circ$. Теорема верна для любого простого четырёхугольника (как выпуклого, так и невыпуклого). Таким образом, высказывание истинно.
- Высказывание $(\exists x)p(x)$ означает "существует четырёхугольник, у которого сумма внутренних углов равна $360^\circ$". Так как это свойство выполняется для всех четырёхугольников, то оно выполняется и для какого-то одного конкретного (например, для квадрата). Следовательно, это высказывание также истинно.
Ответ: высказывание $(\forall x)p(x)$ истинно, высказывание $(\exists x)p(x)$ истинно.