Страница 76 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

5. Что называется множеством истинности предложения $p(x)$?

В математической логике и теории множеств, выражение $p(x)$ называется предикатом или пропозициональной функцией. Это утверждение, содержащее одну или несколько переменных (в данном случае, переменную $x$), которое становится истинным или ложным высказыванием (пропозицией) при подстановке вместо переменной конкретного значения из определённой области, называемой универсальным множеством или областью определения предиката (обозначим его $U$).

Множеством истинности предиката $p(x)$ называется подмножество универсального множества $U$, состоящее из всех тех и только тех элементов, при подстановке которых вместо переменной $x$ предикат $p(x)$ обращается в истинное высказывание.

Формально, если $T_p$ — это множество истинности предиката $p(x)$ на универсальном множестве $U$, то его можно определить следующим образом: $$ T_p = \{x \in U \mid p(x) \text{ истинно} \} $$ Это означает, что мы собираем в множество $T_p$ все элементы $x$ из $U$, для которых условие $p(x)$ выполняется.

Пример 1:

Пусть дан предикат $p(x)$: "$x$ — чётное число".
Пусть универсальное множество $U$ — это множество натуральных чисел от 1 до 10, то есть $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$.
Чтобы найти множество истинности, мы должны проверить каждый элемент из $U$:

• $p(1)$: "1 — чётное число" (ложно)
• $p(2)$: "2 — чётное число" (истинно)
• $p(3)$: "3 — чётное число" (ложно)
• $p(4)$: "4 — чётное число" (истинно)
• ... и так далее.

Элементы, для которых предикат $p(x)$ истинен, это 2, 4, 6, 8, 10.
Следовательно, множество истинности $T_p$ для данного предиката на данном универсальном множестве будет: $$ T_p = \{2, 4, 6, 8, 10\} $$

Пример 2:

Пусть дан предикат $q(x)$: "$x^2 - 9 = 0$".
Универсальное множество $U$ — множество всех целых чисел, $U = \mathbb{Z}$.
Решая уравнение $x^2 - 9 = 0$, мы получаем $x^2 = 9$, откуда $x = 3$ или $x = -3$. Оба этих значения принадлежат множеству целых чисел $\mathbb{Z}$.
Таким образом, множество истинности предиката $q(x)$ на множестве $\mathbb{Z}$ есть: $$ T_q = \{-3, 3\} $$ Если бы универсальное множество было множеством натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$, то множество истинности было бы $T_q = \{3\}$, так как $-3$ не является натуральным числом. Это подчеркивает важность указания универсального множества.

Ответ: Множеством истинности предложения (предиката) $p(x)$, заданного на универсальном множестве $U$, называется множество всех тех элементов $x$ из $U$, для которых $p(x)$ является истинным высказыванием.

6. Какие предложения называются равносильными?

Равносильными (или эквивалентными) называются два предложения (высказывания, уравнения, неравенства и т.д.), которые истинны или ложны одновременно. То есть, если истинно одно предложение, то истинно и другое, и наоборот. Формально, предложение $A$ равносильно предложению $B$, если из $A$ следует $B$ ($A \implies B$), и из $B$ следует $A$ ($B \implies A$). Это отношение обозначается символом $A \Leftrightarrow B$.

Понятие равносильности широко используется в различных областях математики, в первую очередь в логике и алгебре.

В математической логике

Два высказывания считаются равносильными, если их таблицы истинности полностью совпадают. Это означает, что при любых наборах истинностных значений входящих в них простых высказываний, они принимают одинаковое значение (либо "истина", либо "ложь").
Пример: Закон де Моргана гласит, что высказывание $\neg(P \land Q)$ (неверно, что P и Q) равносильно высказыванию $(\neg P) \lor (\neg Q)$ (неверно P или неверно Q). Их равносильность $ \neg(P \land Q) \Leftrightarrow (\neg P) \lor (\neg Q) $ можно доказать с помощью таблицы истинности.

В алгебре (уравнения и неравенства)

В контексте решения уравнений и неравенств равносильность означает совпадение множеств решений.

• Равносильные уравнения — это уравнения, у которых множества решений идентичны. Уравнения, не имеющие решений, также считаются равносильными друг другу.
  Пример 1: Уравнения $3x - 6 = 0$ и $x = 2$ равносильны, так как оба имеют единственное решение $x=2$.
  Пример 2: Уравнения $x^2 = -4$ и $|x| = -1$ равносильны, поскольку оба не имеют решений в множестве действительных чисел (их множество решений пустое).
  Контрпример: Уравнения $x^2 = 25$ и $x = 5$ не равносильны. Первое уравнение имеет два корня, $x=5$ и $x=-5$, а второе — только один, $x=5$. Их множества решений $\{ -5, 5 \}$ и $\{ 5 \}$ не совпадают.
• Равносильные неравенства — это неравенства, у которых совпадают множества решений.
  Пример: Неравенства $2x > 8$ и $x - 1 > 3$ равносильны. Решением первого является $x > 4$, решением второго — также $x > 4$. Множество решений для обоих — это интервал $(4, +\infty)$.

Для решения уравнений и неравенств используются равносильные преобразования — действия, которые превращают исходное выражение в более простое, но равносильное ему. Основные равносильные преобразования включают: перенос слагаемых из одной части в другую с изменением знака; умножение или деление обеих частей на одно и то же ненулевое число (с учётом смены знака для неравенств при умножении/делении на отрицательное число).

Ответ: Равносильными называются предложения, которые истинны при одних и тех же условиях (т.е. имеют одинаковое множество истинности). В алгебре равносильными называют уравнения или неравенства, имеющие одинаковые множества решений.

7. Какое предложение называют отрицанием предложения $p(x)$?

В математической логике отрицанием предложения (или предиката) $p(x)$ называется новое предложение, которое по определению является истинным тогда и только тогда, когда исходное предложение $p(x)$ ложно, и, соответственно, ложным тогда и только тогда, когда исходное предложение $p(x)$ истинно.

Проще говоря, операция отрицания меняет логическое значение предложения на противоположное.

Отрицание предложения $p(x)$ принято обозначать как $\neg p(x)$ или $\overline{p(x)}$. Также его можно выразить словесно, доба

8. Объяснить запись $(\forall x)p(x).$

8.

Запись $(\forall x)p(x)$ является фундаментальной конструкцией в логике предикатов (также известной как исчисление предикатов). Она представляет собой утверждение, в котором используется квантор. Чтобы понять его смысл, разберем запись по частям:

1. Символ $\forall$ — это квантор всеобщности. Он является перевернутой буквой 'A' от английского слова "All" (все). Этот символ читается как: "для любого", "для каждого" или "для всякого". Он указывает, что утверждение, следующее за ним, относится ко всем элементам из рассматриваемого множества.

2. $x$ — это предметная переменная. Она символизирует произвольный элемент из некоторого заранее определенного множества, которое называется областью определения, предметной областью или универсумом. Например, универсумом может быть множество всех действительных чисел, всех людей, всех треугольников и т.д.

3. $p(x)$ — это предикат (или пропозициональная функция). Предикат представляет собой утверждение или свойство, которое относится к переменной $x$. Сам по себе предикат не является истинным или ложным, но он становится таковым, когда вместо переменной $x$ подставляется конкретное значение из области определения. Например, если $p(x)$ — это "$x > 0$", то $p(5)$ — истинно, а $p(-2)$ — ложно.

Соединяя все части вместе, запись $(\forall x)p(x)$ выражает целостное утверждение, которое читается как: "Для любого элемента $x$ из универсума верно, что $x$ обладает свойством $p$".

Условия истинности:

• Утверждение $(\forall x)p(x)$ является истинным, если и только если предикат $p(x)$ обращается в истинное высказывание для каждого элемента $x$ из области определения.
• Утверждение $(\forall x)p(x)$ является ложным, если найдется хотя бы один элемент $x_0$ в области определения, для которого $p(x_0)$ ложно. Такой элемент $x_0$ называется контрпримером.

Пример из математики:
Пусть областью определения является множество всех действительных чисел ($\mathbb{R}$), а предикат $p(x)$ — это $x^2 \ge 0$.
Тогда утверждение $(\forall x)(x^2 \ge 0)$ означает "Для любого действительного числа $x$ верно, что его квадрат больше или равен нулю". Это утверждение является истинным, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.
Если же взять предикат $q(x)$ как $x > 0$, то утверждение $(\forall x)(x > 0)$ будет ложным. В качестве контрпримера можно взять $x = -5$ или $x = 0$, для которых свойство "быть больше нуля" не выполняется.

Ответ: Запись $(\forall x)p(x)$ — это логическое утверждение, которое гласит, что предикат (свойство) $p(x)$ является истинным для каждого элемента $x$ из заданной области определения (универсума). Символ $\forall$ называется квантором всеобщности и читается как "для любого" или "для каждого".

9. Объяснить запись $(\exists x)p(x)$.

Запись $(\exists x)p(x)$ является фундаментальным выражением в логике предикатов и используется для формулировки утверждений о существовании.

Она читается как: «существует такое $x$, что $p(x)$ истинно», или «найдется $x$, для которого верно $p(x)$».

Разберем эту запись на составные части:

• $\exists$ — это символ, который называется квантором существования. Он происходит от английского слова "Exists" (существует). Этот квантор утверждает, что есть по крайней мере один элемент в рассматриваемой области, который обладает указанным свойством.

• $x$ — это предметная переменная. Она обозначает произвольный элемент из некоторого заранее определенного множества, которое называется предметной областью или универсумом рассмотрения (например, множество всех целых чисел, множество всех людей, множество геометрических фигур и т.д.).

• $p(x)$ — это предикат или высказывательная функция. Это утверждение, содержащее переменную $x$, которое становится истинным или ложным в зависимости от того, какое конкретное значение из предметной области принимает переменная $x$. Например, если $p(x)$ — это "$x$ является четным числом", то $p(4)$ будет истинным, а $p(5)$ — ложным.

Таким образом, вся запись $(\exists x)p(x)$ является законченным высказыванием, которое утверждает истинность существования хотя бы одного элемента $x$ в заданной предметной области, при подстановке которого в предикат $p(x)$ последний обращается в истинное высказывание.

Пример 1:

Пусть предметная область — это множество натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$, а предикат $p(x)$ — это утверждение "$x < 5$". Тогда высказывание $(\exists x)p(x)$ означает "существует натуральное число $x$, которое меньше 5". Это высказывание является истинным, поскольку мы можем указать такие числа, например, $x=1$, $x=2$, $x=3$ или $x=4$.

Пример 2:

Пусть предметная область — это множество действительных чисел $\mathbb{R}$, а предикат $p(x)$ — это уравнение "$x^2 + 1 = 0$". Тогда высказывание $(\exists x)p(x)$ означает "существует действительное число $x$, такое что $x^2 + 1 = 0$". Это высказывание является ложным, так как нет такого действительного числа, квадрат которого равен $-1$.

Ответ: Запись $(\exists x)p(x)$ — это логическое высказывание, которое утверждает, что в некоторой предметной области существует по крайней мере один элемент $x$, для которого свойство $p(x)$ является истинным. Символ $\exists$ называется квантором существования, $x$ — предметной переменной, а $p(x)$ — предикатом.

10. Как можно опровергнуть высказывание $(\forall x)p(x)$?

Высказывание $(\forall x)p(x)$ является утверждением с квантором всеобщности. Оно читается как "для любого (или для всякого) элемента $x$ из некоторой предметной области выполняется свойство $p(x)$". Это означает, что свойство $p(x)$ должно быть истинным для абсолютно каждого элемента $x$ без исключений.

Опровергнуть высказывание — значит доказать, что оно ложно. Чтобы доказать ложность утверждения $(\forall x)p(x)$, необходимо показать, что его отрицание истинно.

В логике предикатов существует правило для построения отрицания утверждений с кванторами, известное как одно из законов де Моргана для кванторов. Отрицание высказывания с квантором всеобщности эквивалентно высказыванию с квантором существования, применяемым к отрицанию предиката:

$\neg (\forall x)p(x) \equiv (\exists x)\neg p(x)$

Высказывание $(\exists x)\neg p(x)$ читается как "существует (или найдётся) такой элемент $x$, для которого свойство $p(x)$ не выполняется (является ложным)".

Таким образом, для опровержения универсального высказывания $(\forall x)p(x)$ достаточно найти хотя бы один-единственный элемент в рассматриваемой области, для которого свойство $p(x)$ неверно. Такой элемент называется контрпримером.

Пример:

Рассмотрим высказывание: "Все простые числа являются нечётными".

1. Формализуем его. Пусть предметная область — это множество простых чисел $P = \{2, 3, 5, 7, 11, ...\}$. Пусть предикат $p(x)$ означает "$x$ — нечётное число". Тогда наше высказывание можно записать в виде $(\forall x \in P)p(x)$.
2. Чтобы его опровергнуть, нам нужно доказать истинность утверждения $(\exists x \in P)\neg p(x)$. То есть нам нужно показать, что "существует такое простое число $x$, которое не является нечётным (т.е. является чётным)".
3. Найдём такой контрпример. Возьмём число 2. Число 2 является простым, так как делится только на 1 и на само себя. Следовательно, $2 \in P$.
4. Проверим свойство $p(2)$. Является ли 2 нечётным числом? Нет, 2 — чётное число. Значит, $\neg p(2)$ истинно.
5. Мы нашли элемент (число 2), который принадлежит предметной области (простые числа) и для которого свойство ("быть нечётным") не выполняется. Это и есть контрпример.

Следовательно, наличие всего одного контрпримера (числа 2) полностью опровергает исходное общее утверждение "Все простые числа являются нечётными".

Ответ: Чтобы опровергнуть высказывание $(\forall x)p(x)$, необходимо найти контрпример, то есть указать хотя бы один конкретный элемент $x_0$ из области определения, для которого предикат $p(x_0)$ является ложным. Это доказывает истинность утверждения $(\exists x)\neg p(x)$, которое является отрицанием исходного высказывания.

11. В примере формулировки конкретной теоремы выделить её условие и заключение.

Любая математическая теорема представляет собой утверждение, которое можно сформулировать в виде «Если A, то B». Часть утверждения, которая следует за словом «если» (A), называется условием теоремы. Часть утверждения, которая следует за словом «то» (B), называется заключением теоремы. Условие — это то, что дано или предполагается истинным, а заключение — это то, что утверждается или следует из условия.

Рассмотрим в качестве примера одну из самых известных теорем геометрии — Теорему Пифагора.

Формулировка теоремы: «В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов».

Для того чтобы выделить условие и заключение, удобно переформулировать теорему в виде «Если..., то...»:

«Если треугольник является прямоугольным, то квадрат длины его гипотенузы равен сумме квадратов длин его катетов».

Условие

Условие — это исходное предположение, при котором утверждение теоремы будет верным. В данном случае, свойство, описанное в теореме, выполняется только для определённого вида треугольников.

Ответ: Условие теоремы Пифагора: «Треугольник является прямоугольным».

Заключение

Заключение — это логическое следствие, которое вытекает из условия. Если условие (треугольник прямоугольный) выполнено, то для длин его сторон будет справедливо определённое соотношение. Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.

Ответ: Заключение теоремы Пифагора: «Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов», что математически выражается формулой $c^2 = a^2 + b^2$.

12. Какие теоремы называются взаимно обратными?

Взаимно обратными называют две теоремы, в которых условие одной является заключением другой, и наоборот. При этом обе теоремы должны быть верными (доказанными).

Любую теорему можно представить в виде условного утверждения: «Если А, то Б», где:

• А – это условие (посылка, гипотеза) теоремы.
• Б – это заключение (следствие) теоремы.

В символической форме такую теорему (называемую прямой теоремой) записывают так: $A \implies B$.

Теорема, обратная данной, будет иметь вид: «Если Б, то А».

В символической форме обратная теорема записывается как: $B \implies A$.

Таким образом, для получения обратной теоремы нужно поменять местами условие и заключение прямой теоремы.

Важно понимать, что если прямая теорема верна, то обратная ей теорема не обязательно верна. Если же обе теоремы (и прямая, и обратная) верны, то их называют взаимно обратными.

Пример взаимно обратных теорем:

1. Прямая теорема (Признак равнобедренного треугольника по углам):

Условие (A): В треугольнике два угла равны.

Заключение (Б): Этот треугольник является равнобедренным.

Формулировка: Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. Эта теорема верна.

2. Обратная теорема (Свойство углов равнобедренного треугольника):

Условие (Б): Треугольник является равнобедренным.

Заключение (A): Углы при основании этого треугольника равны.

Формулировка: Если треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны. Эта теорема также верна.

Поскольку и прямая, и обратная теоремы верны, они являются взаимно обратными.

Ответ: Взаимно обратные теоремы — это пара теорем, в которых условие первой теоремы является заключением второй, а заключение первой — условием второй. Если прямая теорема имеет вид «Если A, то B», то обратная ей теорема имеет вид «Если B, то A». Для того чтобы теоремы считались взаимно обратными, обе они должны быть истинными.

13. Что называют достаточным условием некоторого предложения?

Достаточным условием для истинности некоторого предложения (назовем его $B$) является другое предложение (назовем его $A$), из истинности которого с необходимостью следует истинность предложения $B$. Иными словами, если $A$ верно, то $B$ тоже гарантированно верно. Наличие условия $A$ является достаточным для того, чтобы утверждать, что $B$ истинно.

Эта логическая связь называется импликацией или логическим следованием и записывается с помощью математического символа: $A \Rightarrow B$. В этой записи $A$ называют достаточным условием (или посылкой, антецедентом), а $B$ — необходимым условием (или следствием, консеквентом).

Рассмотрим пример из геометрии. Пусть у нас есть два предложения:
A: «Четырёхугольник является квадратом».
B: «У четырёхугольника все углы прямые».

Условие A является достаточным для условия B, потому что если четырёхугольник — квадрат, то из этого определения следует, что все его углы прямые. То есть, $A \Rightarrow B$. Выполнения условия «быть квадратом» достаточно, чтобы гарантировать, что у фигуры прямые углы.

При этом важно понимать, что обратное утверждение ($B \Rightarrow A$) не всегда верно. Если у четырёхугольника все углы прямые (это прямоугольник), это ещё не значит, что он является квадратом (у него могут быть разные стороны). Таким образом, B не является достаточным условием для A.

Ответ: Достаточным условием для предложения B называют такое предложение A, истинность которого влечет за собой истинность предложения B. Если верно A, то обязательно верно и B ($A \Rightarrow B$).

14. Что называют необходимым условием некоторого предложения?

В логике и математике необходимым условием для некоторого предложения (или утверждения) A называют другое предложение B, которое является логическим следствием предложения A. Это означает, что если утверждение A истинно, то утверждение B также обязательно должно быть истинным.

Иными словами, невозможно, чтобы A было истинным, а B — ложным. Если условие B не выполняется (оно ложно), то и утверждение A гарантированно будет ложным.

Эта взаимосвязь формально записывается с помощью знака импликации: $A \implies B$. Эта формула читается как:

• «Из A следует B»
• «Если A, то B»
• «A влечет B»

В этой импликации предложение B является необходимым условием для A, а предложение A — достаточным условием для B.

Рассмотрим несколько примеров для наглядности:

Пример 1: Делимость чисел

• Утверждение A: «Число делится на 6».
• Условие B: «Число делится на 2 (то есть является четным)».

Здесь делимость на 2 (B) — это необходимое условие для делимости на 6 (A). Если число делится на 6 (например, 12, 18, 30), то оно обязательно будет четным. Если число нечетное (условие B ложно), то оно точно не может делиться на 6 (утверждение A ложно). Запись: (Число делится на 6) $\implies$ (Число делится на 2).

Пример 2: Геометрия

• Утверждение A: «Данная фигура — квадрат».
• Условие B: «У данной фигуры равны все стороны».

Равенство всех сторон (B) — необходимое условие для того, чтобы фигура была квадратом (A). Если фигура является квадратом, то все ее стороны по определению равны. Если у фигуры стороны не равны, она не может быть квадратом. Однако это условие не является достаточным, так как ромб тоже имеет равные стороны, но не всегда является квадратом.

Пример 3: Повседневная жизнь

• Утверждение A: «Сегодня 1 января».
• Условие B: «Сейчас наступил новый год».

Наступление нового года (B) — необходимое условие для того, чтобы сегодня было 1 января (A). Невозможно, чтобы было 1 января, но при этом новый год еще не наступил.

Ответ: Необходимым условием для предложения A называют такое предложение B, которое обязательно истинно, если истинно A. Это выражается логической формулой $A \implies B$ (из A следует B).

15. В каких случаях при формулировках теорем используют термин «необходимо и достаточно»?

Термин «необходимо и достаточно» используется при формулировке теорем, которые устанавливают логическую эквивалентность двух утверждений. Это означает, что одно утверждение является верным тогда и только тогда, когда верно и другое. По сути, такая формулировка объединяет в себе две теоремы: прямую и обратную.

Рассмотрим два утверждения, А и В. Формулировка «Для В необходимо и достаточно А» означает, что верны оба следующих утверждения:

1. Из А следует В ($A \Rightarrow B$). Это достаточное условие.
2. Из В следует А ($B \Rightarrow A$). Это необходимое условие.

Вместе это записывается как $A \Leftrightarrow B$ (А эквивалентно В).

Достаточное условие

Утверждение А является достаточным для утверждения В, если из истинности А всегда следует истинность В. Иными словами, выполнения условия А достаточно для того, чтобы было выполнено условие В.

Пример: «Если число делится на 10 (утверждение А), то оно делится на 5 (утверждение В)». Делимость на 10 — это достаточное условие для делимости на 5. Но не необходимое (например, число 15 делится на 5, но не на 10).

Необходимое условие

Утверждение А является необходимым для утверждения В, если из истинности В всегда следует истинность А. То есть, если А неверно, то и В не может быть верным. Выполнение условия А необходимо для выполнения В.

Пример: «Чтобы число было простым (утверждение В), необходимо, чтобы оно было натуральным (утверждение А)». Быть натуральным числом — это необходимое условие, чтобы быть простым. Но не достаточное (например, число 6 — натуральное, но не простое).

Когда используется «необходимо и достаточно»?

Эта формулировка используется, когда условие является одновременно и необходимым, и достаточным. Такие теоремы часто называют критериями.

Классический пример из геометрии:

Пусть утверждение А — «Диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам».

Пусть утверждение В — «Четырехугольник является параллелограммом».

1. Достаточность ($A \Rightarrow B$): Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. (Прямая теорема — признак параллелограмма).
2. Необходимость ($B \Rightarrow A$): Если четырехугольник является параллелограммом, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам. (Обратная теорема — свойство параллелограмма).

Поскольку верны оба утверждения, их можно объединить в одно с помощью оборота «необходимо и достаточно»:

«Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали точкой пересечения делились пополам».

Ответ: Термин «необходимо и достаточно» используют при формулировке теорем, которые устанавливают равносильность двух утверждений (критериев). Такая теорема по своей сути объединяет прямую и обратную теоремы, показывая, что если истинно одно утверждение, то истинно и второе, и наоборот ($A \Leftrightarrow B$).

16. Какие теоремы называют взаимно противоположными?

Взаимно противоположными называют две теоремы, если условие и заключение одной из них являются отрицаниями соответственно условия и заключения другой. Чтобы полностью понять это определение, рассмотрим структуру теорем.

Большинство теорем в математике формулируются как условные утверждения вида «Если А, то В». Такую теорему называют прямой теоремой. В символической форме она записывается как $A \Rightarrow B$, где $A$ — это условие (посылка), а $B$ — заключение (следствие).

Противоположной теоремой для прямой теоремы ($A \Rightarrow B$) является теорема, в которой и условие, и заключение заменены на их отрицания. Она имеет вид: «Если не А, то не В». Символически это записывается как $\neg A \Rightarrow \neg B$.

Именно эти две теоремы — прямая ($A \Rightarrow B$) и противоположная ($\neg A \Rightarrow \neg B$) — и называются взаимно противоположными.

Ключевой особенностью взаимно противоположных теорем является то, что они не являются логически эквивалентными. Истинность одной из них не гарантирует истинность другой.

Пример:

Прямая теорема: «Если четырёхугольник является квадратом, то его диагонали равны».
Это утверждение истинно.

Взаимно противоположная ей теорема: «Если четырёхугольник не является квадратом, то его диагонали не равны».
Это утверждение ложно. Например, равнобедренная трапеция или прямоугольник не являются квадратами, но их диагонали равны.

Стоит отметить, что существует еще одна пара взаимно противоположных теорем: обратная теорема ($B \Rightarrow A$) и теорема, противоположная обратной ($\neg B \Rightarrow \neg A$). Они также связаны тем, что условие и заключение одной являются отрицанием условия и заключения другой.

Ответ: Взаимно противоположными называют пару теорем, в которой условие и заключение одной теоремы являются отрицаниями соответственно условия и заключения другой теоремы. Если первая теорема имеет вид «Если $A$, то $B$», то противоположная ей будет «Если не $A$, то не $B$».

17. Какую теорему называют противоположной обратной?

Чтобы понять, какую теорему называют «противоположной обратной», рассмотрим исходную (прямую) теорему. Любую теорему можно представить в виде условного утверждения: «Если А, то В», где А — это условие (посылка), а В — заключение (следствие). В символической форме это записывается как $A \Rightarrow B$.

С этой прямой теоремой связаны три другие производные теоремы:

• Обратная теорема: условие и заключение исходной теоремы меняются местами. Формулировка: «Если В, то А». Символически: $B \Rightarrow A$.
• Противоположная теорема: условие и заключение исходной теоремы заменяются на их отрицания. Формулировка: «Если не А, то не В». Символически: $\neg A \Rightarrow \neg B$.
• Теорема, противоположная обратной: это теорема, которая является противоположной для обратной теоремы.

Рассмотрим, как она образуется по шагам. Сначала для исходной теоремы ($A \Rightarrow B$) строится обратная ей теорема ($B \Rightarrow A$). Затем для этой новой, обратной теоремы, строится противоположная. Для этого ее условие (B) и заключение (A) заменяются на их отрицания («не В» и «не А»). В результате получается утверждение: «Если не В, то не А». Символически это записывается как $\neg B \Rightarrow \neg A$.

Эта теорема также известна под более современным названием — контрапозиция. Важнейшее свойство теоремы, противоположной обратной, заключается в том, что она логически эквивалентна исходной прямой теореме. Это означает, что утверждения $A \Rightarrow B$ и $\neg B \Rightarrow \neg A$ всегда либо одновременно истинны, либо одновременно ложны. Это свойство (закон контрапозиции) является фундаментальным в логике и математике и часто используется в доказательствах.

Пример:

• Прямая теорема: «Если четырехугольник является квадратом (А), то его диагонали перпендикулярны (В)». ($A \Rightarrow B$). Это истинное утверждение.
• Теорема, противоположная обратной (контрапозиция): «Если диагонали четырехугольника не перпендикулярны ($\neg B$), то он не является квадратом ($\neg A$)». ($\neg B \Rightarrow \neg A$). Это также истинное утверждение, что иллюстрирует их логическую эквивалентность.

Ответ: Теоремой, противоположной обратной, по отношению к исходной теореме «Если А, то В» ($A \Rightarrow B$) называют теорему «Если не В, то не А» ($\neg B \Rightarrow \neg A$). В этой теореме условием является отрицание заключения исходной теоремы, а заключением — отрицание ее условия. Эта теорема логически эквивалентна исходной и также называется контрапозицией.

18. В чём состоит суть доказательства методом от противного?

Доказательство методом от противного, также известное как reductio ad absurdum (сведение к абсурду), — это косвенный метод доказательства, который широко используется в математике и логике. Его суть заключается в том, чтобы доказать истинность утверждения через доказательство ложности его отрицания.

Алгоритм доказательства методом от противного состоит из следующих шагов:

1. Формулировка тезиса. Чётко определяется утверждение $P$, которое необходимо доказать.
2. Выдвижение антитезиса (предположение от противного). Делается предположение, что утверждение $P$ на самом деле ложно. То есть, мы временно принимаем за истину его отрицание — $\neg P$.
3. Логический вывод. Исходя из предположения $\neg P$ как из истинного, строится цепочка логических рассуждений. Используя аксиомы, определения и ранее доказанные теоремы, из $\neg P$ выводится некое следствие.
4. Получение противоречия. В результате рассуждений мы приходим к выводу, который является логически невозможным, то есть к противоречию. Противоречие может проявляться по-разному:
   • Прямое противоречие вида $Q \land \neg Q$ (например, "число $x$ чётное и нечётное одновременно").
   • Противоречие с исходным предположением $\neg P$.
   • Противоречие с какой-либо известной аксиомой или ранее доказанной теоремой (например, с тем, что параллельные прямые не пересекаются).
5. Заключение. Поскольку предположение $\neg P$ с помощью верных логических шагов привело нас к абсурду (противоречию), делается вывод, что это предположение было неверным. Согласно закону исключённого третьего, если утверждение $\neg P$ ложно, то его отрицание, то есть исходное утверждение $P$, обязательно истинно.

Рассмотрим классический пример применения этого метода.

Доказательство иррациональности числа $\sqrt{2}$

Тезис ($P$): Число $\sqrt{2}$ является иррациональным.

Доказательство:

1. Предположение от противного ($\neg P$): Допустим, что число $\sqrt{2}$ является рациональным.
2. Логический вывод: Если число рационально, то его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — целые числа, $b \neq 0$, и у них нет общих делителей, кроме 1 (дробь несократима).

   Итак, пусть $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$.

   Возведём обе части равенства в квадрат: $2 = \left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a^2}{b^2}$.

   Отсюда получаем: $a^2 = 2b^2$.

   Это равенство показывает, что $a^2$ является чётным числом (так как оно равно произведению 2 на целое число $b^2$).

   Если квадрат целого числа ($a^2$) чётный, то и само число ($a$) тоже должно быть чётным. (Потому что квадрат нечётного числа всегда нечётен: $(2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 = 2(2k^2+2k)+1$).

   Раз $a$ — чётное число, его можно представить в виде $a = 2k$ для некоторого целого числа $k$.

   Подставим $a = 2k$ в наше равенство $a^2 = 2b^2$:

   $(2k)^2 = 2b^2$

   $4k^2 = 2b^2$

   Разделим обе части на 2: $b^2 = 2k^2$.

   Это новое равенство показывает, что $b^2$ также является чётным числом, а значит, и само число $b$ является чётным.

3. Получение противоречия: Мы пришли к выводу, что и число $a$, и число $b$ являются чётными. Это означает, что они оба делятся на 2. Но это прямо противоречит нашему первоначальному условию, что дробь $\frac{a}{b}$ является несократимой (т.е. $a$ и $b$ не имеют общих делителей, кроме 1).
4. Заключение: Наше исходное предположение о том, что $\sqrt{2}$ — рациональное число, привело к логическому противоречию. Следовательно, это предположение ложно. Значит, истинно обратное утверждение: число $\sqrt{2}$ является иррациональным.

Ответ: Суть доказательства методом от противного состоит в том, чтобы для доказательства истинности некоторого утверждения $P$ временно предположить, что оно ложно (т.е. истинно его отрицание $\neg P$). Затем из этого предположения путем строгих логических рассуждений выводится следствие, которое является абсурдным или противоречит известным фактам. Поскольку из истинной предпосылки нельзя получить ложное следствие с помощью верных рассуждений, делается вывод, что предпосылка $\neg P$ была ложной. Следовательно, исходное утверждение $P$ является истинным.

224. Сформулировать высказывание $\bar{v}$, если известно высказывание $v$:

1) $2 = 2$;

2) $15 \ge 3$;

3) любое натуральное число является целым числом;

4) у Земли только один естественный спутник.

1) Исходное высказывание v: $2 = 2$. Отрицанием равенства является неравенство. Таким образом, высказывание $\overline{v}$, которое является отрицанием v, формулируется как «2 не равно 2».

Ответ: $\overline{v}: 2 \neq 2$.

2) Исходное высказывание v: $15 > 3$. Отрицанием строгого неравенства «больше» ($>$) является нестрогое неравенство «меньше или равно» ($\leq$). Это означает, что для отрицания исходного высказывания нужно утверждать, что 15 меньше или равно 3.

Ответ: $\overline{v}: 15 \leq 3$.

3) Исходное высказывание v: «любое натуральное число является целым числом». Это высказывание содержит квантор всеобщности («любое»). Его отрицание строится путем замены квантора всеобщности на квантор существования («существует», «найдется») и отрицания самого свойства. Свойство «является целым числом» при отрицании становится «не является целым числом».

Ответ: $\overline{v}$: существует натуральное число, которое не является целым числом.

4) Исходное высказывание v: «у Земли только один естественный спутник». Это высказывание утверждает, что количество естественных спутников Земли равно в точности единице. Отрицанием этого будет утверждение, что их количество не равно единице, то есть у Земли либо нет естественных спутников (количество равно нулю), либо их больше одного.

Ответ: $\overline{v}$: у Земли не один естественный спутник.

225. Найти множество истинности предложения:

1) n — натуральный делитель числа 12;

2) k — натуральный делитель числа 10;

3) $-5 < x < 1, x \in \mathbb{Z};$

4) $\begin{cases} x^2 - 2x + 1 \leq 0, \\ x > 0; \end{cases}$

5) $\left[ \begin{aligned} x &= -2, \\ x &= 3; \end{aligned} \right.$

6) $\left[ \begin{aligned} 2x^2 - x + 3 &= 0, \\ -x + 1 &= 0. \end{aligned} \right.$

1) n — натуральный делитель числа 12;

Множество истинности данного предложения — это множество всех натуральных чисел $n$, на которые число 12 делится без остатка. Натуральные числа — это целые положительные числа. Найдем все такие делители, перебирая числа от 1 до 12:

$12 \div 1 = 12$

$12 \div 2 = 6$

$12 \div 3 = 4$

$12 \div 4 = 3$

$12 \div 6 = 2$

$12 \div 12 = 1$

Таким образом, натуральными делителями числа 12 являются числа 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Ответ: $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$

2) k — натуральный делитель числа 10;

Множество истинности этого предложения — это множество всех натуральных чисел $k$, которые являются делителями числа 10. Найдем все натуральные делители числа 10:

$10 \div 1 = 10$

$10 \div 2 = 5$

$10 \div 5 = 2$

$10 \div 10 = 1$

Натуральными делителями числа 10 являются числа 1, 2, 5, 10.

Ответ: $\{1, 2, 5, 10\}$

3) -5 < x < 1, x ∈ Z;

Данное предложение определяет множество всех целых чисел $x$, которые находятся в интервале от -5 до 1, не включая концы интервала. Множество целых чисел обозначается как $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$. Выберем все целые числа, удовлетворяющие строгому неравенству $-5 < x < 1$.

Эти числа: -4, -3, -2, -1, 0.

Ответ: $\{-4, -3, -2, -1, 0\}$

4) { x² - 2x + 1 ≤ 0, x > 0;

Это система из двух условий, которые должны выполняться одновременно. Фигурная скобка обозначает логическое "И".

Рассмотрим первое неравенство: $x^2 - 2x + 1 \le 0$. Левую часть можно свернуть по формуле квадрата разности: $(x-1)^2 \le 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x-1)^2 \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, неравенство $(x-1)^2 \le 0$ выполняется только в одном случае, когда $(x-1)^2 = 0$. Это дает нам единственное решение: $x - 1 = 0$, откуда $x=1$.

Теперь проверим, удовлетворяет ли это решение второму условию системы: $x > 0$. Подставляя $x=1$, получаем $1 > 0$, что является истинным. Таким образом, единственное значение, удовлетворяющее системе, это $x=1$.

Ответ: $\{1\}$

5) [ x = -2, x = 3;

Квадратная скобка в данном контексте обозначает совокупность, или логическое "ИЛИ". Это означает, что предложение истинно, если $x$ равен -2, или если $x$ равен 3. Множество истинности представляет собой набор всех значений, для которых предложение верно.

Ответ: $\{-2, 3\}$

6) [ 2x² - x + 3 = 0, -x + 1 = 0.

Это совокупность двух уравнений, соединенных логическим "ИЛИ". Множество истинности — это объединение множеств решений каждого уравнения.

Решим первое уравнение: $2x^2 - x + 3 = 0$. Найдем дискриминант квадратного уравнения $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 - 24 = -23$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), у этого квадратного уравнения нет действительных корней. Множество его решений — пустое множество $\emptyset$.

Решим второе уравнение: $-x + 1 = 0$. Отсюда следует, что $x=1$.

Множество истинности всей совокупности является объединением множеств решений обоих уравнений: $\emptyset \cup \{1\} = \{1\}$.

Ответ: $\{1\}$

226. Найти множество истинности для предложения $ \overline{p(x)} $, если дано предложение $ p(x) $:

1) $ -1 \le x \le 2 $;

2) $ x \in (-\infty; 4) \cup (5; +\infty) $;

3) $ -x^2 - 3x + 4 = 0 $;

4) $ x^2 + 1 \le 0 $.

1) Исходное предложение $p(x)$ — это двойное неравенство $-1 \le x \le 2$. Множеством истинности для $p(x)$ является отрезок $[-1, 2]$. Нам необходимо найти множество истинности для $\overline{p(x)}$, то есть для отрицания исходного предложения. Отрицанием предложения $-1 \le x \le 2$ является $x < -1$ или $x > 2$. Таким образом, множество истинности для $\overline{p(x)}$ — это объединение двух открытых лучей.
Ответ: $(-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$.

2) Предложение $p(x)$ задано условием $x \in (-\infty; 4) \cup (5; +\infty)$. Множество истинности для $p(x)$ — это объединение двух интервалов. Множество истинности для $\overline{p(x)}$ является дополнением множества истинности $p(x)$ до всей числовой прямой $\mathbb{R}$. Дополнением к объединению интервалов $(-\

227. Для каждого из предложений $p(x)$:

1) $\sqrt{x} = 5$; 2) $|x| > -2$; 3) $x^2 - 3 = 0$; 4) $x^2 + 3 > 0$

определить, истинным или ложным является высказывание $(\forall x)p(x)$; $(\exists x)p(x)$.

В данной задаче мы будем определять истинность высказываний с кванторами всеобщности $(\forall x)$ («для любого $x$») и существования $(\exists x)$ («существует такой $x$»). В качестве области определения переменной $x$ будем рассматривать множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$, если иное не следует из самого выражения.

Для этого предложения $p(x)$ область определения переменной $x$ ограничена условием $x \ge 0$, так как корень квадратный из отрицательного числа не определен в множестве действительных чисел.

Высказывание $(\forall x)p(x)$ утверждает, что для любого неотрицательного числа $x$ выполняется равенство $\sqrt{x}=5$. Это высказывание ложно. Чтобы его опровергнуть, достаточно найти хотя бы один контрпример. Например, возьмем $x=4$. Тогда $\sqrt{4} = 2$, что не равно 5.

Высказывание $(\exists x)p(x)$ утверждает, что существует хотя бы одно неотрицательное число $x$, для которого выполняется равенство $\sqrt{x}=5$. Это высказывание истинно. Решив уравнение $\sqrt{x}=5$ путем возведения обеих частей в квадрат, мы получаем $x=25$. Число 25 является неотрицательным и удовлетворяет уравнению, так как $\sqrt{25}=5$.

Ответ: высказывание $(\forall x)p(x)$ ложно, высказывание $(\exists x)p(x)$ истинно.

Предложение $p(x)$ определено для всех действительных чисел $x \in \mathbb{R}$.

Высказывание $(\forall x)p(x)$ утверждает, что для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $|x| > -2$. Это высказывание истинно. По определению, модуль любого действительного числа $|x|$ является неотрицательным, т.е. $|x| \ge 0$. Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа, следовательно, $|x| > -2$ верно для всех $x \in \mathbb{R}$.

Высказывание $(\exists x)p(x)$ утверждает, что существует хотя бы одно действительное число $x$, для которого $|x| > -2$. Это высказывание также истинно. Если утверждение верно для всех $x$, то оно, очевидно, верно и хотя бы для одного. Например, для $x=1$, $|1| = 1$, что больше -2.

Ответ: высказывание $(\forall x)p(x)$ истинно, высказывание $(\exists x)p(x)$ истинно.

Предложение $p(x)$ определено для всех действительных чисел $x \in \mathbb{R}$.

Высказывание $(\forall x)p(x)$ утверждает, что для любого действительного числа $x$ выполняется равенство $x^2 - 3 = 0$. Это высказывание ложно. Достаточно привести контрпример: для $x=1$, получаем $1^2 - 3 = -2 \ne 0$.

Высказывание $(\exists x)p(x)$ утверждает, что существует хотя бы одно действительное число $x$, для которого $x^2 - 3 = 0$. Это высказывание истинно. Решим уравнение $x^2 - 3 = 0 \implies x^2=3$. Корнями этого уравнения являются $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$. Поскольку существуют действительные корни, высказывание истинно.

Ответ: высказывание $(\forall x)p(x)$ ложно, высказывание $(\exists x)p(x)$ истинно.

Предложение $p(x)$ определено для всех действительных чисел $x \in \mathbb{R}$.

Высказывание $(\forall x)p(x)$ утверждает, что для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $x^2 + 3 > 0$. Это высказывание истинно. Для любого действительного $x$ его квадрат $x^2$ неотрицателен: $x^2 \ge 0$. Сумма неотрицательного числа и положительного числа 3 всегда будет положительна: $x^2 + 3 \ge 0 + 3 = 3$, а $3 > 0$. Таким образом, неравенство $x^2+3 > 0$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Высказывание $(\exists x)p(x)$ утверждает, что существует хотя бы одно действительное число $x$, для которого $x^2 + 3 > 0$. Это высказывание также истинно. Так как утверждение истинно для всех $x$, оно истинно и для некоторого $x$. Например, для $x=0$, $0^2+3=3 > 0$.

Ответ: высказывание $(\forall x)p(x)$ истинно, высказывание $(\exists x)p(x)$ истинно.

228. Для каждого из утверждений $p(x)$:
1) треугольник $x$ — равнобедренный;
2) параллелограмм $x$ является квадратом;
3) вписанный угол $x$ равен половине дуги, на которую он опирается;
4) у четырёхугольника $x$ сумма внутренних углов равна $360^{\circ}$ — определить, истинным или ложным является высказывание $(\forall x)p(x)$; $(\exists x)p(x)$.

Для решения задачи необходимо определить истинность или ложность высказываний с кванторами всеобщности $(\forall x)p(x)$ ("для любого $x$ верно $p(x)$") и существования $(\exists x)p(x)$ ("существует $x$, для которого верно $p(x)$") для каждого из предложенных утверждений $p(x)$.

1) треугольник x — равнобедренный
Здесь предикат $p(x)$ — "треугольник $x$ является равнобедренным". Областью определения переменной $x$ является множество всех треугольников.
- Высказывание $(\forall x)p(x)$ читается как "любой треугольник является равнобедренным". Это утверждение ложно. В качестве контрпримера можно привести разносторонний треугольник, например, со сторонами 3, 4 и 5, у которого нет равных сторон.
- Высказывание $(\exists x)p(x)$ читается как "существует треугольник, который является равнобедренным". Это утверждение истинно. Например, любой равносторонний треугольник является равнобедренным, или треугольник со сторонами 5, 5 и 6.
Ответ: высказывание $(\forall x)p(x)$ ложно, высказывание $(\exists x)p(x)$ истинно.

2) параллелограмм x является квадратом
Предикат $p(x)$ — "параллелограмм $x$ является квадратом". Областью определения $x$ является множество всех параллелограммов.
- Высказывание $(\forall x)p(x)$ означает "любой параллелограмм является квадратом". Это утверждение ложно. Квадрат — это частный случай параллелограмма. Существуют параллелограммы, которые не являются квадратами, например, прямоугольник с неравными смежными сторонами или ромб с углами, не равными $90^\circ$.
- Высказывание $(\exists x)p(x)$ означает "существует параллелограмм, который является квадратом". Это утверждение истинно, так как квадрат по определению является параллелограммом, у которого все стороны и углы равны.
Ответ: высказывание $(\forall x)p(x)$ ложно, высказывание $(\exists x)p(x)$ истинно.

3) вписанный угол x равен половине дуги, на которую он опирается
Предикат $p(x)$ — "вписанный угол $x$ равен половине дуги, на которую он опирается". Областью определения $x$ является множество всех вписанных углов окружности.
- Высказывание $(\forall x)p(x)$ означает "любой вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается". Это утверждение является известной теоремой планиметрии. Следовательно, оно истинно.
- Высказывание $(\exists x)p(x)$ означает "существует вписанный угол, который равен половине дуги, на которую он опирается". Поскольку утверждение истинно для всех вписанных углов, оно, очевидно, истинно и для хотя бы одного из них (при условии, что множество вписанных углов не пусто). Следовательно, это высказывание также истинно.
Ответ: высказывание $(\forall x)p(x)$ истинно, высказывание $(\exists x)p(x)$ истинно.

4) у четырёхугольника x сумма внутренних углов равна 360°
Предикат $p(x)$ — "у четырёхугольника $x$ сумма внутренних углов равна $360^\circ$". Областью определения $x$ является множество всех (простых) четырёхугольников.
- Высказывание $(\forall x)p(x)$ означает "у любого четырёхугольника сумма внутренних углов равна $360^\circ$". Это является теоремой о сумме углов многоугольника для $n=4$: $(4-2) \times 180^\circ = 360^\circ$. Теорема верна для любого простого четырёхугольника (как выпуклого, так и невыпуклого). Таким образом, высказывание истинно.
- Высказывание $(\exists x)p(x)$ означает "существует четырёхугольник, у которого сумма внутренних углов равна $360^\circ$". Так как это свойство выполняется для всех четырёхугольников, то оно выполняется и для какого-то одного конкретного (например, для квадрата). Следовательно, это высказывание также истинно.
Ответ: высказывание $(\forall x)p(x)$ истинно, высказывание $(\exists x)p(x)$ истинно.