Страница 81 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

235. Доказать, что на 8 делится:

1) куб чётного числа;

2) разность квадратов двух нечётных чисел.

1) куб чётного числа

Любое чётное число можно представить в виде $2n$, где $n$ – некоторое целое число. Возведём это число в куб: $(2n)^3 = 2^3 \cdot n^3 = 8n^3$.

В полученном выражении $8n^3$ присутствует множитель 8, следовательно, всё выражение делится на 8 нацело при любом целом $n$. Таким образом, доказано, что куб любого чётного числа делится на 8.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) разность квадратов двух нечётных чисел

Любое нечётное число можно представить в виде $2k+1$, где $k$ – некоторое целое число. Найдём квадрат такого числа: $(2k+1)^2 = (2k)^2 + 2 \cdot 2k \cdot 1 + 1^2 = 4k^2 + 4k + 1$.

В выражении $4k^2 + 4k + 1$ вынесем за скобки $4k$: $4k(k+1) + 1$.

Произведение $k(k+1)$ – это произведение двух последовательных целых чисел. Одно из этих чисел обязательно является чётным, поэтому их произведение также всегда будет чётным. Это означает, что $k(k+1)$ можно представить в виде $2m$, где $m$ – некоторое целое число.

Подставим это в нашу формулу для квадрата нечётного числа: $4(2m) + 1 = 8m + 1$.

Таким образом, мы доказали, что квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1.

Теперь рассмотрим разность квадратов двух произвольных нечётных чисел, которые мы обозначим как $a$ и $b$. Согласно доказанному выше, их квадраты можно представить в виде: $a^2 = 8m_1 + 1$
$b^2 = 8m_2 + 1$
где $m_1$ и $m_2$ – некоторые целые числа.

Найдём разность этих квадратов: $a^2 - b^2 = (8m_1 + 1) - (8m_2 + 1) = 8m_1 + 1 - 8m_2 - 1 = 8m_1 - 8m_2 = 8(m_1 - m_2)$.

Полученное выражение $8(m_1 - m_2)$ содержит множитель 8, следовательно, оно делится на 8 нацело. Таким образом, разность квадратов двух любых нечётных чисел делится на 8.

Ответ: Что и требовалось доказать.

236. Доказать, что число $16^{20} + 2^{76}$ делится на 17.

Для доказательства того, что число $16^{20} + 2^{76}$ делится на 17, выполним следующие преобразования:

1. Представим число 16 как степень двойки:

$16 = 2^4$

2. Подставим это представление в исходное выражение:

$16^{20} + 2^{76} = (2^4)^{20} + 2^{76}$

3. Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, чтобы упростить первое слагаемое:

$(2^4)^{20} = 2^{4 \cdot 20} = 2^{80}$

4. Теперь исходное выражение имеет вид:

$2^{80} + 2^{76}$

5. Вынесем за скобки общий множитель $2^{76}$ (степень с наименьшим показателем):

$2^{76}(2^{80-76} + 1) = 2^{76}(2^4 + 1)$

6. Вычислим значение выражения в скобках:

$2^4 + 1 = 16 + 1 = 17$

7. Таким образом, мы преобразовали исходное выражение к виду:

$16^{20} + 2^{76} = 2^{76} \cdot 17$

Поскольку полученное произведение содержит множитель 17, это означает, что все выражение делится на 17 нацело. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

237. Натуральные числа $5n+1$ и $7n+2$ делятся на натуральное число $m > 1$. Найти $m$.

По условию задачи, натуральные числа $5n+1$ и $7n+2$ делятся на натуральное число $m > 1$. Это значит, что $m$ является их общим делителем.
Воспользуемся свойством делимости: если два числа $A$ и $B$ делятся на некоторое число $m$, то и любая их целочисленная линейная комбинация $kA + lB$ (где $k$ и $l$ — целые числа) также делится на $m$.
Подберем коэффициенты $k$ и $l$ таким образом, чтобы исключить переменную $n$. Составим следующую линейную комбинацию:
$7 \cdot (5n+1) - 5 \cdot (7n+2)$
Это выражение также должно делиться на $m$. Раскроем скобки и упростим его:
$(35n + 7) - (35n + 10) = 35n + 7 - 35n - 10 = -3$
Следовательно, число $-3$ должно делиться на $m$. Это означает, что $m$ является натуральным делителем числа $3$.
Натуральными делителями числа $3$ являются числа $1$ и $3$.
Согласно условию задачи, $m > 1$. Таким образом, единственно возможное значение для $m$ — это $3$.
Теперь необходимо убедиться, что такое натуральное число $n$, при котором оба выражения делятся на $3$, действительно существует. Проверим это с помощью сравнений по модулю $3$:
1) $5n+1$ должно делиться на $3$: $5n+1 \equiv 0 \pmod{3}$. Так как $5 \equiv 2 \pmod{3}$, то получаем $2n+1 \equiv 0 \pmod{3}$. Это сравнение равносильно $2n \equiv -1 \pmod{3}$ или $2n \equiv 2 \pmod{3}$. Так как $2$ и $3$ взаимно просты, мы можем разделить обе части на $2$, получив $n \equiv 1 \pmod{3}$.
2) $7n+2$ должно делиться на $3$: $7n+2 \equiv 0 \pmod{3}$. Так как $7 \equiv 1 \pmod{3}$, то получаем $n+2 \equiv 0 \pmod{3}$. Это сравнение равносильно $n \equiv -2 \pmod{3}$ или $n \equiv 1 \pmod{3}$.
Оба условия выполняются одновременно для всех натуральных чисел $n$, которые при делении на $3$ дают в остатке $1$ (например, для $n=1, 4, 7, \dots$).
Для примера, возьмем $n=1$. Тогда $5n+1 = 5(1)+1 = 6$ и $7n+2 = 7(1)+2 = 9$. Оба числа, $6$ и $9$, делятся на $3$.
Таким образом, значение $m=3$ полностью удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: $m=3$.