Страница 75 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Что называется высказыванием?

Что называется высказыванием?

В математической логике и формальных системах высказыванием (также используется термин суждение или пропозиция) называется любое повествовательное предложение, в отношении которого имеет смысл говорить, что оно либо истинно, либо ложно. Иными словами, это утверждение, которому можно однозначно присвоить одно из двух истинностных значений: «истина» или «ложь».

Основные характеристики высказывания:

• Это повествовательное предложение. Вопросительные («Который час?»), побудительные («Закрой окно!») и восклицательные («Какая прекрасная погода!») предложения высказываниями не являются, так как они не утверждают и не отрицают что-либо и к ним неприменимы понятия истинности или ложности.
• Оно подчиняется закону исключённого третьего. Это означает, что любое высказывание является либо истинным, либо ложным, и не существует третьего варианта. Оно не может быть одновременно и истинным, и ложным.

Примеры высказываний:

• «Земля вращается вокруг Солнца». — Истинное высказывание.
• «$2 \times 2 = 5$». — Ложное высказывание.
• «Киев — столица Украины». — Истинное высказывание.
• «Число 7 является четным». — Ложное высказывание.

Примеры предложений, которые НЕ являются высказываниями:

• «Ты любишь математику?» — Это вопрос, а не утверждение.
• «Изучай логику!» — Это побуждение (приказ).
• «$x < 10$». — Это предложение с переменной, называемое предикатом или высказывательной формой. Оно становится высказыванием только после подстановки вместо переменной $x$ конкретного значения. Например, при $x=5$ мы получаем истинное высказывание «$5 < 10$», а при $x=12$ — ложное «$12 < 10$».
• «Это утверждение — ложь». — Это классический пример парадокса («парадокс лжеца»). Ему невозможно приписать истинностное значение, не приходя к противоречию.

Ответ: Высказывание — это повествовательное предложение, которое является либо истинным, либо ложным, но не тем и другим одновременно.

...что называется высказыванием.

2. Привести примеры истинных и ложных высказываний.

Высказывание (или суждение) в логике — это повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Истинность или ложность — это логическое значение высказывания. Предложения, не являющиеся повествовательными (например, вопросительные или побудительные), а также предложения, истинность которых установить невозможно (например, "Это утверждение ложно"), высказываниями не являются.

Примеры истинных высказываний

Истинное высказывание — это утверждение, которое соответствует действительности или является верным с точки зрения некоторой формальной системы (например, математики).

• Город Киев — столица Украины. (Географический факт)
• Число 7 является простым. (Математический факт, так как 7 делится без остатка только на 1 и на само себя)
• Земля является третьей планетой от Солнца. (Астрономический факт)
• Математическое равенство $2 \times 2 = 4$ является верным.
• Сумма углов в евклидовом треугольнике равна $180^\circ$. (Геометрическая теорема)

Ответ: Примеры истинных высказываний приведены выше.

Примеры ложных высказываний

Ложное высказывание — это утверждение, которое противоречит действительности или является неверным в рамках принятой формальной системы.

• Луна — это планета. (Ложно, Луна — это спутник Земли)
• Число 15 делится на 2 без остатка. (Ложно, $15 \div 2 = 7.5$)
• Все простые числа — нечетные. (Ложно, существует число 2, которое является простым и четным)
• Математическое неравенство $5 > 10$ является верным.
• Река Амазонка находится в Африке. (Ложно, Амазонка протекает в Южной Америке)

Ответ: Примеры ложных высказываний приведены выше.

3. Привести пример отрицания некоторого высказывания.

В математической логике высказыванием называют любое повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл говорить, истинно оно или ложно. Отрицанием высказывания $A$ называется новое высказывание, которое является истинным, если исходное высказывание $A$ ложно, и ложным, если $A$ истинно. Операция отрицания обозначается символом $\neg$ (например, $\neg A$) или чертой над высказыванием ($\bar{A}$).

Построение отрицания зависит от структуры исходного высказывания.

Для простого утверждения отрицание обычно формируется добавлением частицы «не» или оборота «неверно, что...».
Например, возьмем истинное высказывание:
Высказывание: «Волга впадает в Каспийское море».
Его отрицание: «Волга не впадает в Каспийское море» (или «Неверно, что Волга впадает в Каспийское море»). Это отрицание является ложным.

Для математических высказываний нужно быть внимательным.
Например, для истинного высказывания:
Высказывание: «$15 > 10$».
Его отрицание: «$15 \le 10$». Отрицанием строгого знака «больше» ($>$) является знак «меньше или равно» ($\le$), а не просто «меньше» ($<$). Это отрицание ложно.

Особые правила существуют для высказываний с кванторами (словами «все», «каждый», «любой», «некоторые», «существует»).
Рассмотрим высказывание с квантором всеобщности «все»:
Высказывание: «Все четные числа делятся на 2». (Истинное высказывание).
Его отрицание: «Существует четное число, которое не делится на 2». (Ложное высказывание).
Здесь для построения отрицания квантор «все» ($\forall$) меняется на квантор существования «существует» ($\exists$), а само утверждение под квантором отрицается. Ошибочно было бы сказать: «Все четные числа не делятся на 2».

Теперь рассмотрим высказывание с квантором существования «некоторые» (или «существует»):
Высказывание: «Некоторые грибы ядовиты». (Истинное высказывание).
Его отрицание: «Все грибы не являются ядовитыми» (или «Ни один гриб не является ядовитым»). (Ложное высказывание).
Здесь для построения отрицания квантор «существует» ($\exists$) меняется на квантор всеобщности «все» ($\forall$), а утверждение под квантором отрицается.

Ответ:
Приведем пример отрицания для сложного высказывания с квантором.
Исходное высказывание: «Все ученики в классе решили задачу».
Отрицание: «Неверно, что все ученики в классе решили задачу». Эту фразу можно переформулировать более точно: «Найдется хотя бы один ученик в классе, который не решил задачу» или «Некоторые ученики в классе не решили задачу».

4. Привести пример предложения с переменной.

4.

Предложение с переменной (также его называют предикатом или высказывательной формой) — это повествовательное предложение, которое содержит одну или несколько переменных и становится высказыванием (то есть утверждением, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно) только после подстановки вместо переменных их конкретных значений из некоторой области определения.

Рассмотрим в качестве примера предложение с переменной $x$:

«Число $x$ является чётным»

Это предложение содержит переменную $x$. Обозначим его $P(x)$. В таком виде мы не можем определить, истинно оно или ложно, так как это зависит от значения $x$. Областью определения переменной $x$ здесь является множество целых чисел.

• Если мы подставим вместо $x$ число 6 (то есть $x=6$), то получим высказывание «Число 6 является чётным». Это истинное высказывание.
• Если мы подставим вместо $x$ число 7 (то есть $x=7$), то получим высказывание «Число 7 является чётным». Это ложное высказывание.

Таким образом, само по себе утверждение «$x$ является чётным» — это предложение с переменной, а не высказывание.

Другой распространённый пример — математическое неравенство:

«$y - 4 < 10$»

Это предложение с переменной $y$ истинно для всех значений $y$, которые меньше 14 (например, при $y=13$ получаем истинное высказывание $9 < 10$), и ложно для всех значений $y$, которые больше или равны 14 (например, при $y=15$ получаем ложное высказывание $11 < 10$).

Ответ: Примером предложения с переменной является равенство $x + 5 = 8$. Это утверждение становится истинным высказыванием при $x=3$ и ложным высказыванием при любом другом значении $x$.