Страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!

1. Представить в виде степени: $\frac{(a^3)^5 \cdot a^0 \cdot a^2}{a^{-2}}$.

1. Для того чтобы представить данное выражение в виде степени, необходимо последовательно применить свойства степеней. Исходное выражение:

$$ \frac{(a^3)^5 \cdot a^0 \cdot a^2}{a^{-2}} $$

Сначала упростим числитель дроби. Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$$ (a^3)^5 = a^{3 \cdot 5} = a^{15} $$

Далее учтем, что любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, согласно свойству $x^0 = 1$ (при $a \neq 0$):

$$ a^0 = 1 $$

Теперь числитель выглядит так: $a^{15} \cdot 1 \cdot a^2$. Применим свойство произведения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$$ a^{15} \cdot 1 \cdot a^2 = a^{15+2} = a^{17} $$

После упрощения числителя все выражение принимает вид:

$$ \frac{a^{17}}{a^{-2}} $$

На последнем шаге воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$$ \frac{a^{17}}{a^{-2}} = a^{17 - (-2)} = a^{17+2} = a^{19} $$

Таким образом, исходное выражение равно $a^{19}$.

Ответ: $a^{19}$

2. Записать число $0,00038$ в стандартном виде.

Стандартный вид числа — это его запись в виде произведения $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число. Число $a$ называется мантиссой, а $n$ — порядком числа.

Чтобы представить число $0,00038$ в стандартном виде, необходимо выполнить два шага:

1. Определить мантиссу $a$. Для этого нужно переместить десятичную запятую в исходном числе так, чтобы слева от нее осталась только одна ненулевая цифра. В числе $0,00038$ первая ненулевая цифра — это 3. Переместим запятую вправо, чтобы она оказалась после тройки.

$0,00038 \rightarrow 3,8$

Полученное число $3,8$ удовлетворяет условию $1 \le a < 10$. Таким образом, мантисса $a = 3,8$.

2. Определить порядок $n$. Для этого нужно посчитать, на сколько знаков и в какую сторону мы сдвинули запятую. Мы сдвинули запятую на 4 знака вправо.

$0\underline{,}\underbrace{0003}_{4 \text{ знака}}8 \rightarrow 3,8$

Поскольку мы сдвигали запятую вправо (чтобы из маленького числа $0,00038$ получить большее $3,8$), порядок $n$ будет отрицательным. Следовательно, $n = -4$.

Теперь запишем число в стандартном виде, умножив мантиссу на 10 в степени порядка:

$0,00038 = 3,8 \cdot 10^{-4}$

Проверим правильность преобразования: $3,8 \cdot 10^{-4} = 3,8 \cdot \frac{1}{10^4} = 3,8 \cdot \frac{1}{10000} = 3,8 \cdot 0,0001 = 0,00038$.

Ответ: $3,8 \cdot 10^{-4}$

3. Решить систему уравнений $\begin{cases} 2x - 3y = 7, \\ 3x + 4y = 2. \end{cases}$

Для решения данной системы линейных уравнений воспользуемся методом алгебраического сложения. Цель метода — исключить одну из переменных, чтобы получить уравнение с одной неизвестной.

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 2x - 3y = 7 \\ 3x + 4y = 2 \end{cases}$

Чтобы устранить переменную $y$, необходимо сделать коэффициенты при ней в обоих уравнениях противоположными по знаку и равными по модулю. Для этого умножим первое уравнение на 4, а второе — на 3.

Умножаем первое уравнение на 4:

$4 \cdot (2x - 3y) = 4 \cdot 7 \implies 8x - 12y = 28$

Умножаем второе уравнение на 3:

$3 \cdot (3x + 4y) = 3 \cdot 2 \implies 9x + 12y = 6$

Получаем новую систему, эквивалентную исходной:

$\begin{cases} 8x - 12y = 28 \\ 9x + 12y = 6 \end{cases}$

Теперь сложим два уравнения системы почленно. Члены с $y$ взаимно уничтожатся:

$(8x - 12y) + (9x + 12y) = 28 + 6$

$17x = 34$

Найдем значение $x$:

$x = \frac{34}{17} = 2$

Теперь, когда мы знаем значение $x$, подставим его в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Возьмем первое уравнение $2x - 3y = 7$:

$2(2) - 3y = 7$

$4 - 3y = 7$

Выразим $y$:

$-3y = 7 - 4$

$-3y = 3$

$y = \frac{3}{-3} = -1$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(2; -1)$.

Для уверенности выполним проверку, подставив найденные значения в оба исходных уравнения:

1) $2(2) - 3(-1) = 4 + 3 = 7$. (Верно)

2) $3(2) + 4(-1) = 6 - 4 = 2$. (Верно)

Ответ: $(2; -1)$.

4. Решить систему неравенств $ \begin{cases} 5x + 3 > 0, \\ \frac{1}{2}x - 4 < 0. \end{cases} $

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Решим первое неравенство: $5x + 3 > 0$.
Перенесем 3 в правую часть неравенства, изменив знак на противоположный:
$5x > -3$
Разделим обе части неравенства на 5. Так как 5 является положительным числом, знак неравенства сохраняется:
$x > -\frac{3}{5}$
Представим дробь в виде десятичного числа:
$x > -0.6$

Теперь решим второе неравенство: $\frac{1}{2}x - 4 < 0$.
Перенесем -4 в правую часть, изменив знак:
$\frac{1}{2}x < 4$
Умножим обе части неравенства на 2. Знак неравенства не меняется, так как 2 — положительное число:
$x < 8$

Мы получили два условия для $x$: $x > -0.6$ и $x < 8$.
Решением системы является пересечение множеств решений этих двух неравенств. Это можно записать в виде двойного неравенства:
$-0.6 < x < 8$
Это соответствует интервалу от -0.6 до 8, не включая концы.

Ответ: $(-0.6; 8)$

5. Вынести множитель из-под знака корня $\sqrt{9x^3y^5}$, если $x < 0$ и $y < 0$.

5.

Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{9x^3y^5}$, необходимо разложить подкоренное выражение на множители, которые являются полными квадратами, а затем учесть заданные условия $x < 0$ и $y < 0$.

Шаг 1: Разложение подкоренного выражения на множители.

Представим числовые и буквенные множители под корнем так, чтобы выделить степени с четными показателями:

$9 = 3^2$

$x^3 = x^2 \cdot x$

$y^5 = y^4 \cdot y = (y^2)^2 \cdot y$

Теперь подставим эти разложения в исходное выражение:

$\sqrt{9x^3y^5} = \sqrt{3^2 \cdot (x^2 \cdot x) \cdot ((y^2)^2 \cdot y)}$

Сгруппируем множители, являющиеся полными квадратами:

$\sqrt{(3^2 \cdot x^2 \cdot (y^2)^2) \cdot (x \cdot y)}$

Шаг 2: Извлечение корня из полных квадратов.

Воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ и правилом $\sqrt{a^2} = |a|$ (модуль числа $a$).

$\sqrt{3^2 \cdot x^2 \cdot (y^2)^2 \cdot xy} = \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{(y^2)^2} \cdot \sqrt{xy}$

Вычислим каждый корень:

$\sqrt{3^2} = 3$

$\sqrt{x^2} = |x|$

$\sqrt{(y^2)^2} = y^2$ (поскольку $y^2$ всегда является неотрицательным числом)

Собрав все вместе, получаем:

$3 \cdot |x| \cdot y^2 \cdot \sqrt{xy}$

Шаг 3: Учет условий $x < 0$ и $y < 0$.

По условию задачи переменная $x$ является отрицательным числом. По определению модуля, для любого отрицательного числа $a < 0$ его модуль равен $|a| = -a$. Следовательно, $|x| = -x$.

Подставим $-x$ вместо $|x|$ в наше выражение:

$3 \cdot (-x) \cdot y^2 \cdot \sqrt{xy} = -3xy^2\sqrt{xy}$

Также необходимо убедиться, что выражение под корнем $\sqrt{xy}$ имеет смысл. Так как $x < 0$ и $y < 0$, их произведение $xy$ будет положительным числом, поэтому извлечение квадратного корня является корректной операцией.

Ответ: $-3xy^2\sqrt{xy}$

6. Решить уравнение $5x + 3 - 2x^2 = 0$.

Данное уравнение является квадратным. Для его решения приведем его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$.

Исходное уравнение: $5x + 3 - 2x^2 = 0$.

Переставим члены уравнения в порядке убывания степеней переменной $x$:

$-2x^2 + 5x + 3 = 0$

Чтобы упростить дальнейшие вычисления, умножим обе части уравнения на $-1$. Это изменит знаки всех коэффициентов, но не повлияет на корни уравнения.

$2x^2 - 5x - 3 = 0$

Теперь определим коэффициенты $a$, $b$ и $c$:

• $a = 2$
• $b = -5$
• $c = -3$

Далее вычислим дискриминант ($D$) по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 - (-24) = 25 + 24 = 49$

Поскольку дискриминант $D = 49 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.

Вычисляем первый корень:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Вычисляем второй корень:

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = -0.5$.

7. Построить график функции $y = x^2 - 5x + 6$.

Для построения графика функции $y = x^2 - 5x + 6$ необходимо выполнить последовательность шагов, чтобы определить ключевые характеристики и точки графика.

1. Определение вида графика и направления ветвей

Данная функция является квадратичной, так как имеет вид $y = ax^2 + bx + c$. Ее графиком является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Нахождение координат вершины параболы

Координаты вершины параболы $(x_в; y_в)$ находятся по формулам:

$x_в = -\frac{b}{2a}$

$y_в = y(x_в)$

В нашем случае $a=1$, $b=-5$, $c=6$.

Вычисляем абсциссу вершины:

$x_в = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} = 2.5$

Теперь подставляем значение $x_в$ в уравнение функции, чтобы найти ординату вершины:

$y_в = (2.5)^2 - 5 \cdot (2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2.5; -0.25)$. Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая $x = 2.5$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат

С осью ординат (OY):

Для нахождения точки пересечения с осью OY нужно принять $x = 0$:

$y = 0^2 - 5 \cdot 0 + 6 = 6$

Точка пересечения с осью OY: $(0; 6)$.

С осью абсцисс (OX):

Для нахождения точек пересечения с осью OX нужно принять $y = 0$ и решить квадратное уравнение:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

Точки пересечения с осью OX (нули функции): $(2; 0)$ и $(3; 0)$.

4. Нахождение дополнительных точек для точности

Мы уже имеем несколько ключевых точек: вершину $(2.5; -0.25)$, точки пересечения с осями $(0; 6)$, $(2; 0)$, $(3; 0)$. Используя ось симметрии $x = 2.5$, можно найти симметричные точки. Например, точка $(0; 6)$ симметрична точке $(5; 6)$.

Для большей точности построения найдем еще одну пару точек. Возьмем $x=1$:

$y(1) = 1^2 - 5 \cdot 1 + 6 = 1 - 5 + 6 = 2$. Точка $(1; 2)$.

Симметричная ей точка относительно оси $x=2.5$ имеет абсциссу $2.5 + (2.5 - 1) = 4$. Точка $(4; 2)$.

Составим таблицу значений:

5. Построение графика

Отметим найденные точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой, учитывая, что это парабола с вершиной в точке $(2.5; -0.25)$ и ветвями вверх.

Ответ: Графиком функции $y = x^2 - 5x + 6$ является парабола. Ветви параболы направлены вверх. Вершина находится в точке $(2.5; -0.25)$. График пересекает ось OY в точке $(0; 6)$ и ось OX в точках $(2; 0)$ и $(3; 0)$.

8. Выписать первые пять членов последовательности, заданной рекуррентной формулой $a_{n+1} = -a_{n}^2 + 1$ и условием $a_1 = 2$.

По условию дана последовательность, определенная рекуррентной формулой $a_{n+1} = -a_n^2 + 1$ и начальным условием $a_1 = 2$. Требуется выписать первые пять членов этой последовательности.

Первый член ($a_1$):
Он задан в условии задачи: $a_1 = 2$.

Второй член ($a_2$):
Для его нахождения используем рекуррентную формулу при $n=1$ и подставляем известное значение $a_1$:
$a_2 = a_{1+1} = -a_1^2 + 1 = -(2)^2 + 1 = -4 + 1 = -3$.

Третий член ($a_3$):
Находим по формуле при $n=2$, используя вычисленное значение $a_2$:
$a_3 = a_{2+1} = -a_2^2 + 1 = -(-3)^2 + 1 = -(9) + 1 = -8$.

Четвертый член ($a_4$):
Находим по формуле при $n=3$, используя вычисленное значение $a_3$:
$a_4 = a_{3+1} = -a_3^2 + 1 = -(-8)^2 + 1 = -(64) + 1 = -63$.

Пятый член ($a_5$):
Находим по формуле при $n=4$, используя вычисленное значение $a_4$:
$a_5 = a_{4+1} = -a_4^2 + 1 = -(-63)^2 + 1 = -3969 + 1 = -3968$.

Ответ: 2, -3, -8, -63, -3968.

9. Найти моду, медиану и среднее значение выборки 5, 3, 8, 7, 4, 5.

Для решения задачи выполним последовательно три действия: найдем моду, медиану и среднее значение для заданной выборки чисел.

Мода

Мода — это значение в наборе данных, которое встречается наиболее часто. В выборке 5, 3, 8, 7, 4, 5 мы видим, что число 5 встречается два раза, а все остальные числа (3, 4, 7, 8) — по одному разу. Следовательно, модой данной выборки является число 5.
Ответ: 5.

Медиана

Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного по возрастанию ряда чисел.
1. Сначала упорядочим нашу выборку: 3, 4, 5, 5, 7, 8.
2. В выборке 6 элементов, то есть четное количество. В таком случае медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов. В нашем ряду это третий и четвертый элементы, то есть 5 и 5.
3. Вычисляем медиану: $M_e = \frac{5 + 5}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Таким образом, медиана выборки равна 5.
Ответ: 5.

Среднее значение

Среднее значение (или среднее арифметическое) — это сумма всех чисел в выборке, деленная на их количество.
1. Найдем сумму всех элементов выборки:
$5 + 3 + 8 + 7 + 4 + 5 = 32$.
2. Количество элементов в выборке равно 6.
3. Вычислим среднее значение, разделив сумму на количество:
$\bar{x} = \frac{32}{6} = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$.
Следовательно, среднее значение выборки составляет $5\frac{1}{3}$.
Ответ: $5\frac{1}{3}$.

1. Выполнить действия: $(\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}) : \frac{b\sqrt{b}}{a-b}$

Выполнить действия:

Для решения данного примера необходимо выполнить действия в правильном порядке. Сначала выполним вычитание дробей в скобках, а затем — деление. Область допустимых значений для переменных: $a \ge 0$, $b > 0$ и $a \neq b$.

1. Первое действие — упрощение выражения в скобках: $(\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}})$.

Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель — это произведение знаменателей $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$. Воспользуемся формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

$(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a - b$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{1 \cdot (\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b} - \frac{1 \cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b} = \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}) - (\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}$.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b} - \sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b} = \frac{2\sqrt{b}}{a-b}$.

2. Второе действие — деление.

Разделим результат первого действия на вторую дробь:

$\frac{2\sqrt{b}}{a-b} : \frac{b\sqrt{b}}{a-b}$.

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{2\sqrt{b}}{a-b} \cdot \frac{a-b}{b\sqrt{b}}$.

Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Можно сократить $(a-b)$ и $\sqrt{b}$:

$\frac{2\cancel{\sqrt{b}}}{\cancel{a-b}} \cdot \frac{\cancel{a-b}}{b\cancel{\sqrt{b}}} = \frac{2}{b}$.

Ответ: $\frac{2}{b}$.

2. Решить уравнение $|2x - 3|=5.$

Данное уравнение $|2x - 3| = 5$ содержит выражение под знаком модуля. По определению абсолютной величины (модуля), уравнение вида $|A| = B$, где $B \geq 0$, равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ и $A = -B$.

Рассмотрим оба случая для нашего уравнения.

Случай 1. Выражение под модулем равно 5.
$2x - 3 = 5$
Для решения этого линейного уравнения, сначала перенесем константу -3 в правую часть, изменив ее знак на противоположный:
$2x = 5 + 3$
$2x = 8$
Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 2:
$x = \frac{8}{2}$
$x = 4$

Случай 2. Выражение под модулем равно -5.
$2x - 3 = -5$
Аналогично первому случаю, перенесем -3 в правую часть:
$2x = -5 + 3$
$2x = -2$
Разделим обе части уравнения на 2:
$x = \frac{-2}{2}$
$x = -1$

Таким образом, мы получили два корня уравнения: 4 и -1. Выполним проверку найденных корней, подставив их в исходное уравнение:
При $x = 4$: $|2 \cdot 4 - 3| = |8 - 3| = |5| = 5$. Верно.
При $x = -1$: $|2 \cdot (-1) - 3| = |-2 - 3| = |-5| = 5$. Верно.
Оба корня являются решением уравнения.

Ответ: $-1; 4$

3. Решить систему неравенств $\begin{cases} 2x^2 + x - 6 \ge 0, \\ 3x + 1 < 0. \end{cases}$

Для решения системы необходимо найти решение для каждого неравенства по отдельности, а затем найти пересечение этих решений.

1. Решим первое неравенство: $2x^2 + x - 6 \ge 0$

Это квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $2x^2 + x - 6 = 0$, чтобы определить точки, в которых выражение равно нулю.

Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

Находим корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$

Графиком функции $y = 2x^2 + x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2>0$). Парабола находится на оси Ox или выше ее на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [1.5, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $3x + 1 < 0$

Это линейное неравенство. Перенесем 1 в правую часть с противоположным знаком и разделим на 3:

$3x < -1$

$x < -\frac{1}{3}$

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -\frac{1}{3})$.

3. Найдем решение системы

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств. Найдем пересечение $ ((-\infty, -2] \cup [1.5, +\infty)) \cap (-\infty, -\frac{1}{3}) $.

Сравним ключевые точки: $-2 < -\frac{1}{3} \approx -0.33 < 1.5$.

Промежуток $(-\infty, -\frac{1}{3})$ пересекается с промежутком $(-\infty, -2]$ в области $(-\infty, -2]$.

Промежуток $(-\infty, -\frac{1}{3})$ не имеет общих точек с промежутком $[1.5, +\infty)$.

Объединяя результаты, получаем, что решение системы неравенств — это промежуток $(-\infty, -2]$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2]$.

4. Извлечь корень $\sqrt{a^2-4a+4}$, если $a<2$.

Для того чтобы извлечь корень из выражения $\sqrt{a^2 - 4a + 4}$ при условии $a < 2$, необходимо выполнить следующие шаги.

Первым шагом упростим подкоренное выражение $a^2 - 4a + 4$. Мы можем заметить, что это выражение является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем случае, $x=a$ и $y=2$. Подставив эти значения в формулу, получаем:$a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = a^2 - 4a + 4$.Следовательно, подкоренное выражение можно свернуть в квадрат разности: $a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$.

Теперь исходное выражение можно переписать в следующем виде:$\sqrt{a^2 - 4a + 4} = \sqrt{(a-2)^2}$.

По определению арифметического квадратного корня, для любого действительного числа $b$ справедливо равенство $\sqrt{b^2} = |b|$, где $|b|$ — это модуль (абсолютное значение) числа $b$.

Применяя это свойство к нашему выражению, получаем:$\sqrt{(a-2)^2} = |a-2|$.

Далее, нам нужно раскрыть модуль, используя данное в условии ограничение $a < 2$.Из неравенства $a < 2$ следует, что разность $a-2$ всегда будет отрицательной (т.е. $a-2 < 0$).

По определению модуля: • если выражение под модулем неотрицательно, то модуль равен самому выражению ($|b| = b$ при $b \ge 0$); • если выражение под модулем отрицательно, то модуль равен противоположному выражению ($|b| = -b$ при $b < 0$).

Поскольку в нашем случае выражение $a-2$ отрицательно, мы используем второе правило:$|a-2| = -(a-2)$.

Раскрывая скобки, получаем окончательный результат:$-(a-2) = -a + 2 = 2 - a$.

Ответ: $2 - a$

5. Построить график функции $y = -\frac{1}{x+1} - 2$.

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{x+1} - 2$ воспользуемся методом преобразования графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$.

1. Построение базового графика

Сначала строим график функции $y = \frac{1}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.

2. Сдвиг по оси Ox

Преобразуем функцию к виду $y = \frac{1}{x+1}$. Это соответствует сдвигу графика $y = \frac{1}{x}$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота смещается и становится $x = -1$. Горизонтальная асимптота остается $y=0$.

3. Отражение относительно оси Ox

Теперь рассмотрим функцию $y = -\frac{1}{x+1}$. Знак "минус" перед дробью означает симметричное отражение графика $y = \frac{1}{x+1}$ относительно оси Ox. Ветви гиперболы, которые были "справа-сверху" и "слева-снизу" от асимптот, теперь будут "справа-снизу" и "слева-сверху". Асимптоты не изменяются: $x=-1$ и $y=0$.

4. Сдвиг по оси Oy

Наконец, строим итоговый график $y = -\frac{1}{x+1} - 2$. Это соответствует сдвигу графика $y = -\frac{1}{x+1}$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Горизонтальная асимптота смещается и становится $y = -2$. Вертикальная асимптота остается $x=-1$.

Исследование итоговой функции:

Область определения: Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$. $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Область значений: Функция не может принимать значение, равное горизонтальной асимптоте. $E(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Асимптоты:

• Вертикальная асимптота: $x = -1$
• Горизонтальная асимптота: $y = -2$

Найдем несколько точек для точности построения:

• Пересечение с осью Oy ($x=0$): $y = -\frac{1}{0+1} - 2 = -1 - 2 = -3$. Точка $(0, -3)$.
• Пересечение с осью Ox ($y=0$): $0 = -\frac{1}{x+1} - 2 \implies 2 = -\frac{1}{x+1} \implies 2(x+1) = -1 \implies 2x+2 = -1 \implies 2x = -3 \implies x = -1.5$. Точка $(-1.5, 0)$.
• Дополнительные точки:
  • при $x = -2$, $y = -\frac{1}{-2+1} - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка $(-2, -1)$.
  • при $x = -3$, $y = -\frac{1}{-3+1} - 2 = \frac{1}{2} - 2 = -1.5$. Точка $(-3, -1.5)$.
  • при $x = 1$, $y = -\frac{1}{1+1} - 2 = -0.5 - 2 = -2.5$. Точка $(1, -2.5)$.
  • при $x = -0.5$, $y = -\frac{1}{-0.5+1} - 2 = -\frac{1}{0.5} - 2 = -2 - 2 = -4$. Точка $(-0.5, -4)$.

Построение:

1. На координатной плоскости строим пунктирными линиями асимптоты $x=-1$ и $y=-2$.
2. Отмечаем вычисленные точки: $(0, -3)$, $(-1.5, 0)$, $(-2, -1)$, $(-3, -1.5)$, $(1, -2.5)$, $(-0.5, -4)$.
3. Плавно соединяем точки, получая две ветви гиперболы, которые приближаются к асимптотам. Одна ветвь находится слева от $x=-1$ и выше $y=-2$. Вторая ветвь находится справа от $x=-1$ и ниже $y=-2$.

Ответ: Графиком функции $y = -\frac{1}{x+1} - 2$ является гипербола. Она получена из графика $y=\frac{1}{x}$ путем сдвига на 1 единицу влево, отражения относительно оси Ox и сдвига на 2 единицы вниз. Вертикальная асимптота графика — прямая $x=-1$, горизонтальная асимптота — прямая $y=-2$. График пересекает ось Oy в точке $(0, -3)$ и ось Ox в точке $(-1.5, 0)$. Ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях относительно новой системы координат, образованной асимптотами.

6. Найти сумму членов арифметической прогрессии $a_1, a_2, ..., a_n, ...$ с девятого по семнадцатый включительно, если $a_n = 2n - 3$.

Чтобы найти сумму членов арифметической прогрессии $a_n$ с девятого по семнадцатый включительно, заданной формулой $a_n = 2n - 3$, мы можем рассматривать эти члены как отдельную конечную арифметическую прогрессию.

Сначала определим первый и последний члены этой новой последовательности, а также их количество.

1. Найдём девятый член прогрессии ($a_9$), который будет первым членом нашей суммы. Подставим $n=9$ в исходную формулу:
$a_9 = 2 \cdot 9 - 3 = 18 - 3 = 15$.

2. Найдём семнадцатый член прогрессии ($a_{17}$), который будет последним членом нашей суммы. Подставим $n=17$ в исходную формулу:
$a_{17} = 2 \cdot 17 - 3 = 34 - 3 = 31$.

3. Посчитаем количество членов в последовательности с девятого по семнадцатый включительно:
$k = 17 - 9 + 1 = 9$ членов.

4. Теперь воспользуемся формулой суммы $k$ членов арифметической прогрессии:
$S = \frac{\text{первый член} + \text{последний член}}{2} \cdot \text{количество членов}$.
Подставим найденные значения:
$S = \frac{a_9 + a_{17}}{2} \cdot k = \frac{15 + 31}{2} \cdot 9$.

5. Вычислим результат:
$S = \frac{46}{2} \cdot 9 = 23 \cdot 9 = 207$.

Ответ: 207

7. Найти $A \cap B$ и $A \cup B$, если $A = \{1; 2; 3; 4\}$, $B = \{x : 3 < x < 5\}$.

$A \cap B$

Пересечение множеств $A$ и $B$ (обозначается как $A \cap B$) — это множество, содержащее все те элементы, которые принадлежат одновременно и множеству $A$, и множеству $B$.
В задаче даны два множества:
$A = \{1; 2; 3; 4\}$
$B = \{x : 3 < x < 5\}$, что соответствует числовому интервалу $(3, 5)$.
Чтобы найти пересечение, нужно определить, какие из элементов множества $A$ также являются элементами множества $B$, то есть удовлетворяют условию $3 < x < 5$.
Проверим каждый элемент множества $A$:
- Элемент 1: $1$ не удовлетворяет условию $3 < 1 < 5$.
- Элемент 2: $2$ не удовлетворяет условию $3 < 2 < 5$.
- Элемент 3: $3$ не удовлетворяет условию $3 < 3 < 5$ (неравенство строгое, поэтому 3 не входит в множество $B$).
- Элемент 4: $4$ удовлетворяет условию $3 < 4 < 5$.
Таким образом, только элемент 4 принадлежит обоим множествам.
Ответ: $A \cap B = \{4\}$.

$A \cup B$

Объединение множеств $A$ и $B$ (обозначается как $A \cup B$) — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств (либо $A$, либо $B$, либо обоим сразу).
Множество $A = \{1; 2; 3; 4\}$.
Множество $B$ — это интервал $(3, 5)$.
Объединение будет включать в себя все элементы из $A$ и все элементы из $B$.
1. Элементы 1 и 2 принадлежат множеству $A$ и, следовательно, входят в объединение.
2. Элемент 3 принадлежит множеству $A$ и также входит в объединение.
3. Все числа из интервала $(3, 5)$ принадлежат множеству $B$ и входят в объединение.
Если мы объединим элемент 3 (из $A$) и интервал $(3, 5)$ (из $B$), мы получим полуинтервал $[3, 5)$. Этот полуинтервал включает число 3 и все числа до 5, не включая 5.
Элемент 4 из множества $A$ уже содержится в полученном полуинтервале $[3, 5)$, так как $3 \le 4 < 5$.
В результате мы получаем множество, состоящее из чисел 1, 2 и всех чисел из полуинтервала $[3, 5)$.
Ответ: $A \cup B = \{1, 2\} \cup [3, 5)$.

8. Опровергнуть утверждение: «Число вида $\frac{n+3}{2}$, где $n \in N$, является целым числом», приведя контрпример.

Чтобы опровергнуть утверждение, необходимо найти контрпример — то есть такое натуральное число $n$ ($n \in \mathbb{N}$), для которого результат выражения $\frac{n+3}{2}$ не будет целым числом.

Значение дроби является целым числом в том случае, если ее числитель делится на знаменатель нацело. В данном случае выражение $\frac{n+3}{2}$ будет целым, если числитель $n+3$ — четное число.

Рассмотрим, что происходит при разных значениях $n$:

• Если $n$ — нечетное число (например, $n=1, 3, 5, ...$), то сумма $n+3$ (сумма двух нечетных чисел) будет четным числом. Например, при $n=1$, $\frac{1+3}{2} = \frac{4}{2} = 2$, что является целым числом.
• Если $n$ — четное число (например, $n=2, 4, 6, ...$), то сумма $n+3$ (сумма четного и нечетного числа) будет нечетным числом. Нечетное число не делится на 2 нацело.

Возьмем в качестве контрпримера любое четное натуральное число, например, $n=2$.

Подставим $n=2$ в выражение:
$\frac{2+3}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$

Результат, 2.5, не является целым числом. Поскольку мы нашли хотя бы одно натуральное число $n$, для которого утверждение не выполняется, это утверждение является ложным.

Ответ: Контрпример: при $n=2$ (натуральное число) значение выражения $\frac{n+3}{2}$ равно $2.5$, что не является целым числом. Следовательно, утверждение опровергнуто.

9. Для предложения $p(x)$: «Четырёхугольник $x$ является прямоугольником» — определить, истинным или ложным является высказывание $(\forall x)p(x)$; $(\exists x)p(x)$.

В данной задаче нам дан предикат $p(x)$: «Четырёхугольник $x$ является прямоугольником». Предметной областью для переменной $x$ является множество всех четырёхугольников. Нам нужно определить истинность двух высказываний, построенных на основе этого предиката с использованием кванторов.

$(\forall x)p(x)$

Это высказывание с квантором всеобщности $(\forall)$. Оно читается так: «Для любого $x$, $p(x)$ истинно», что в нашем случае означает: «Любой четырёхугольник является прямоугольником». Для того чтобы это высказывание было истинным, необходимо, чтобы абсолютно каждый объект из множества четырёхугольников являлся прямоугольником. Однако это утверждение неверно. Существует множество четырёхугольников, которые не являются прямоугольниками. Например, трапеция, ромб (не являющийся квадратом), параллелограмм (не являющийся прямоугольником) или дельтоид. Поскольку можно привести хотя бы один контрпример (например, трапеция), который является четырёхугольником, но не является прямоугольником, то исходное высказывание ложно.
Ответ: ложно.

$(\exists x)p(x)$

Это высказывание с квантором существования $(\exists)$. Оно читается так: «Существует такой $x$, что $p(x)$ истинно», что в нашем случае означает: «Существует хотя бы один четырёхугольник, который является прямоугольником». Для того чтобы это высказывание было истинным, достаточно найти хотя бы один объект из множества четырёхугольников, который удовлетворяет свойству быть прямоугольником. Такие фигуры, безусловно, существуют. Например, квадрат — это четырёхугольник, и он является частным случаем прямоугольника. Любой прямоугольник (со сторонами, например, 3 и 5) также является примером такого четырёхугольника. Поскольку мы можем указать пример четырёхугольника, являющегося прямоугольником, то данное высказывание истинно.
Ответ: истинно.

10. Сформулировать теорему, обратную теореме «Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, имеет длину, равную половине длины третьей стороны». Верна ли прямая теорема? обратная теорема?

Сформулировать теорему, обратную теореме «Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, имеет длину, равную половине длины третьей стороны»
Прямая теорема имеет условие («отрезок соединяет середины двух сторон треугольника») и заключение («его длина равна половине длины третьей стороны»). Чтобы сформулировать обратную теорему, необходимо поменять местами условие и заключение.
Таким образом, условием обратной теоремы будет: «Отрезок, концы которого лежат на двух сторонах треугольника, имеет длину, равную половине длины третьей стороны».
А заключением станет: «Этот отрезок соединяет середины этих сторон».
Полная формулировка обратной теоремы звучит следующим образом: «Если отрезок, концы которого лежат на двух сторонах треугольника, имеет длину, равную половине длины третьей стороны, то он соединяет середины этих сторон (то есть является средней линией)».
Ответ: Если отрезок, концы которого лежат на двух сторонах треугольника, имеет длину, равную половине длины третьей стороны, то этот отрезок соединяет середины данных сторон.

Верна ли прямая теорема?
Да, прямая теорема верна. Это утверждение является частью теоремы о средней линии треугольника. Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Теорема о средней линии гласит, что средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине. Таким образом, утверждение о том, что её длина равна половине третьей стороны, является истинным. Для треугольника $\triangle ABC$ со средней линией $MN$, где $M$ — середина $AB$ и $N$ — середина $BC$, справедливо равенство $MN = \frac{1}{2} AC$.
Ответ: Да, прямая теорема верна.

Верна ли обратная теорема?
Нет, сформулированная обратная теорема не верна. Того факта, что длина отрезка с концами на двух сторонах треугольника равна половине третьей стороны, недостаточно, чтобы утверждать, что этот отрезок является средней линией. Можно построить контрпример: в треугольнике $\triangle ABC$, помимо средней линии $M'N'$ (где $M'$ и $N'$ — середины сторон), для которой выполняется $M'N' = \frac{1}{2} AC$, можно найти и другие отрезки $MN$ с концами на тех же сторонах, длина которых также будет равна $\frac{1}{2} AC$, но при этом точки $M$ и $N$ не будут серединами сторон. Такой отрезок $MN$, как правило, не будет параллелен стороне $AC$. Обратная теорема была бы верна, если бы к условию о длине добавилось условие о параллельности этого отрезка третьей стороне.
Ответ: Нет, обратная теорема не верна.