Номер 7, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

7. Найти $A \cap B$ и $A \cup B$, если $A = \{1; 2; 3; 4\}$, $B = \{x : 3 < x < 5\}$.

$A \cap B$

Пересечение множеств $A$ и $B$ (обозначается как $A \cap B$) — это множество, содержащее все те элементы, которые принадлежат одновременно и множеству $A$, и множеству $B$.
В задаче даны два множества:
$A = \{1; 2; 3; 4\}$
$B = \{x : 3 < x < 5\}$, что соответствует числовому интервалу $(3, 5)$.
Чтобы найти пересечение, нужно определить, какие из элементов множества $A$ также являются элементами множества $B$, то есть удовлетворяют условию $3 < x < 5$.
Проверим каждый элемент множества $A$:
- Элемент 1: $1$ не удовлетворяет условию $3 < 1 < 5$.
- Элемент 2: $2$ не удовлетворяет условию $3 < 2 < 5$.
- Элемент 3: $3$ не удовлетворяет условию $3 < 3 < 5$ (неравенство строгое, поэтому 3 не входит в множество $B$).
- Элемент 4: $4$ удовлетворяет условию $3 < 4 < 5$.
Таким образом, только элемент 4 принадлежит обоим множествам.
Ответ: $A \cap B = \{4\}$.

$A \cup B$

Объединение множеств $A$ и $B$ (обозначается как $A \cup B$) — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств (либо $A$, либо $B$, либо обоим сразу).
Множество $A = \{1; 2; 3; 4\}$.
Множество $B$ — это интервал $(3, 5)$.
Объединение будет включать в себя все элементы из $A$ и все элементы из $B$.
1. Элементы 1 и 2 принадлежат множеству $A$ и, следовательно, входят в объединение.
2. Элемент 3 принадлежит множеству $A$ и также входит в объединение.
3. Все числа из интервала $(3, 5)$ принадлежат множеству $B$ и входят в объединение.
Если мы объединим элемент 3 (из $A$) и интервал $(3, 5)$ (из $B$), мы получим полуинтервал $[3, 5)$. Этот полуинтервал включает число 3 и все числа до 5, не включая 5.
Элемент 4 из множества $A$ уже содержится в полученном полуинтервале $[3, 5)$, так как $3 \le 4 < 5$.
В результате мы получаем множество, состоящее из чисел 1, 2 и всех чисел из полуинтервала $[3, 5)$.
Ответ: $A \cup B = \{1, 2\} \cup [3, 5)$.