Номер 9, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

9. Для предложения $p(x)$: «Четырёхугольник $x$ является прямоугольником» — определить, истинным или ложным является высказывание $(\forall x)p(x)$; $(\exists x)p(x)$.

В данной задаче нам дан предикат $p(x)$: «Четырёхугольник $x$ является прямоугольником». Предметной областью для переменной $x$ является множество всех четырёхугольников. Нам нужно определить истинность двух высказываний, построенных на основе этого предиката с использованием кванторов.

$(\forall x)p(x)$

Это высказывание с квантором всеобщности $(\forall)$. Оно читается так: «Для любого $x$, $p(x)$ истинно», что в нашем случае означает: «Любой четырёхугольник является прямоугольником». Для того чтобы это высказывание было истинным, необходимо, чтобы абсолютно каждый объект из множества четырёхугольников являлся прямоугольником. Однако это утверждение неверно. Существует множество четырёхугольников, которые не являются прямоугольниками. Например, трапеция, ромб (не являющийся квадратом), параллелограмм (не являющийся прямоугольником) или дельтоид. Поскольку можно привести хотя бы один контрпример (например, трапеция), который является четырёхугольником, но не является прямоугольником, то исходное высказывание ложно.
Ответ: ложно.

$(\exists x)p(x)$

Это высказывание с квантором существования $(\exists)$. Оно читается так: «Существует такой $x$, что $p(x)$ истинно», что в нашем случае означает: «Существует хотя бы один четырёхугольник, который является прямоугольником». Для того чтобы это высказывание было истинным, достаточно найти хотя бы один объект из множества четырёхугольников, который удовлетворяет свойству быть прямоугольником. Такие фигуры, безусловно, существуют. Например, квадрат — это четырёхугольник, и он является частным случаем прямоугольника. Любой прямоугольник (со сторонами, например, 3 и 5) также является примером такого четырёхугольника. Поскольку мы можем указать пример четырёхугольника, являющегося прямоугольником, то данное высказывание истинно.
Ответ: истинно.