gdz.top
Номер 240, страница 82 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева
Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, синий
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава II. Делимость чисел. §1. Понятие делимости. Делимость суммы и произведения - номер 240, страница 82.
№239
№240 (с. 82)
Условие. №240 (с. 82)
240. Доказать, что число $(m + 5n + 7)^6 (3m + 7n + 2)^7$ делится на 64 при любых натуральных $m$ и $n$.
Решение 1. №240 (с. 82)
Решение 2. №240 (с. 82)
Решение 3. №240 (с. 82)
Решение 4. №240 (с. 82)
Пусть данное число равно $A = (m + 5n + 7)^6 (3m + 7n + 2)^7$. Нам необходимо доказать, что $A$ делится на 64 при любых натуральных $m$ и $n$.
Обозначим выражения в скобках как $X = m + 5n + 7$ и $Y = 3m + 7n + 2$. Тогда всё выражение можно записать в виде $A = X^6 Y^7$.
Рассмотрим чётность чисел $X$ и $Y$, исследовав их по модулю 2.
$X = m + 5n + 7 \equiv m + n + 1 \pmod{2}$
$Y = 3m + 7n + 2 \equiv m + n \pmod{2}$
Из этих сравнений следует, что числа $X$ и $Y$ всегда имеют разную чётность. Если $Y$ чётно, то $X$ нечётно, и наоборот. Это происходит потому, что их остатки от деления на 2 отличаются на 1. Следовательно, при любых натуральных $m$ и $n$ одно из чисел $X$ или $Y$ обязательно является чётным.
Рассмотрим два возможных варианта:
1. Если число $X = m + 5n + 7$ является чётным, то оно представимо в виде $X=2k$ для некоторого целого $k$. В этом случае число $Y$ будет нечётным. Тогда множитель $X^6 = (2k)^6 = 64k^6$. Это выражение делится на 64. Следовательно, и всё произведение $A = X^6 Y^7$ делится на 64.
2. Если число $Y = 3m + 7n + 2$ является чётным, то оно представимо в виде $Y=2j$ для некоторого целого $j$. В этом случае число $X$ будет нечётным. Тогда множитель $Y^7 = (2j)^7 = 128j^7$. Так как $128$ делится на 64 ($128 = 2 \cdot 64$), то и $Y^7$ делится на 64. Следовательно, и всё произведение $A = X^6 Y^7$ делится на 64.
Таким образом, при любых натуральных значениях $m$ и $n$ один из множителей ($X^6$ или $Y^7$) делится на 64, а значит и всё произведение делится на 64. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 240 расположенного на странице 82 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №240 (с. 82), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.