Номер 241, страница 82 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

241. Доказать, что если к произведению четырёх последовательных натуральных чисел прибавить единицу, то получится число, равное квадрату некоторого натурального числа.

Пусть даны четыре последовательных натуральных числа. Обозначим первое из них через $n$, где $n \in \mathbb{N}$ (то есть $n \ge 1$). Тогда последовательность чисел имеет вид: $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$.

Нам нужно доказать, что их произведение, увеличенное на единицу, является полным квадратом. Составим соответствующее выражение:

$S = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1$

Для доказательства преобразуем это выражение. Удобно сгруппировать множители, перемножив крайние и средние члены:

$S = [n(n+3)] \cdot [(n+1)(n+2)] + 1$

Раскроем скобки в каждой группе:

$n(n+3) = n^2 + 3n$

$(n+1)(n+2) = n^2 + 2n + n + 2 = n^2 + 3n + 2$

Теперь подставим полученные выражения обратно в формулу для $S$:

$S = (n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) + 1$

Чтобы упростить дальнейшие преобразования, введем замену переменной. Пусть $x = n^2 + 3n$. Тогда выражение для $S$ примет вид:

$S = x(x+2) + 1$

Раскроем скобки:

$S = x^2 + 2x + 1$

Полученное выражение является формулой квадрата суммы:

$S = (x+1)^2$

Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $x$ выражение $n^2 + 3n$:

$S = (n^2 + 3n + 1)^2$

Мы показали, что исходное выражение равно квадрату выражения $(n^2 + 3n + 1)$. Осталось убедиться, что $(n^2 + 3n + 1)$ является натуральным числом. Поскольку $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Следовательно, $n^2$ и $3n$ также являются натуральными числами. Сумма натуральных чисел $n^2 + 3n + 1$ также всегда будет натуральным числом.

Таким образом, мы доказали, что если к произведению четырёх последовательных натуральных чисел прибавить единицу, то получится квадрат некоторого натурального числа.

Ответ: Утверждение доказано. Выражение $n(n+1)(n+2)(n+3) + 1$ равно $(n^2 + 3n + 1)^2$, а так как $n$ — натуральное число, то и $n^2 + 3n + 1$ является натуральным числом.