Номер 247, страница 84 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

247. Доказать, что число $96^9 - 32^5 - 48^6$ делится на 10.

Чтобы доказать, что число $96^9 - 32^5 - 48^6$ делится на 10, достаточно показать, что его последняя цифра равна 0. Последняя цифра числа — это остаток от деления этого числа на 10. Для этого найдем последнюю цифру каждого члена выражения по отдельности.

1. Определение последней цифры числа $96^9$

Последняя цифра степени числа определяется последней цифрой его основания. В данном случае это цифра 6. Рассмотрим, на какие цифры оканчиваются степени числа 6:

$6^1 = 6$

$6^2 = 36$

$6^3 = 216$

Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 6, также будет оканчиваться на 6. Таким образом, последняя цифра числа $96^9$ равна 6.

На языке сравнений по модулю 10 это записывается так: $96 \equiv 6 \pmod{10}$, следовательно, $96^9 \equiv 6^9 \equiv 6 \pmod{10}$.

2. Определение последней цифры числа $32^5$

Последняя цифра числа $32^5$ такая же, как у $2^5$. Рассмотрим последние цифры степеней числа 2:

$2^1 = 2$

$2^2 = 4$

$2^3 = 8$

$2^4 = 16$ (оканчивается на 6)

$2^5 = 32$ (оканчивается на 2)

Последние цифры степеней двойки повторяются с периодом 4: (2, 4, 8, 6). Показатель степени 5 при делении на 4 дает в остатке 1 ($5 = 4 \cdot 1 + 1$), значит, последняя цифра будет такой же, как у $2^1$, то есть 2.

На языке сравнений: $32 \equiv 2 \pmod{10}$, следовательно, $32^5 \equiv 2^5 = 32 \equiv 2 \pmod{10}$.

3. Определение последней цифры числа $48^6$

Последняя цифра числа $48^6$ такая же, как у $8^6$. Рассмотрим последние цифры степеней числа 8:

$8^1 = 8$

$8^2 = 64$ (оканчивается на 4)

$8^3 = 512$ (оканчивается на 2)

$8^4 = 4096$ (оканчивается на 6)

Последние цифры степеней восьмерки повторяются с периодом 4: (8, 4, 2, 6). Показатель степени 6 при делении на 4 дает в остатке 2 ($6 = 4 \cdot 1 + 2$), значит, последняя цифра будет такой же, как у $8^2$, то есть 4.

На языке сравнений: $48 \equiv 8 \pmod{10}$, следовательно, $48^6 \equiv 8^6 = (8^2)^3 = 64^3 \equiv 4^3 = 64 \equiv 4 \pmod{10}$.

4. Вычисление последней цифры всего выражения

Теперь, зная последние цифры каждого из членов, найдем последнюю цифру всего выражения $96^9 - 32^5 - 48^6$. Она будет такой же, как последняя цифра разности их последних цифр:

...6 − ...2 − ...4

Результатом будет число, оканчивающееся на $6 - 2 - 4 = 0$.

Используя сравнения по модулю 10, запишем это формально:

$96^9 - 32^5 - 48^6 \equiv 6 - 2 - 4 \pmod{10}$

$6 - 2 - 4 = 0$

Следовательно, $96^9 - 32^5 - 48^6 \equiv 0 \pmod{10}$.

Поскольку остаток от деления числа $96^9 - 32^5 - 48^6$ на 10 равен 0, это число делится на 10.

Ответ: Утверждение доказано. Число $96^9 - 32^5 - 48^6$ оканчивается на 0, а значит, оно делится на 10.