Номер 248, страница 84 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

248. Найти остаток от деления на 11 числа a, если:

1) $a = 2^{2002} + 3^{2002}$;

2) $a = 3^{2002} + 7^{2002}$.

Для решения этой задачи мы будем использовать сравнения по модулю и малую теорему Ферма. Малая теорема Ферма гласит, что если $p$ — простое число, то для любого целого числа $x$, не делящегося на $p$, выполняется сравнение $x^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

В нашем случае мы ищем остаток от деления на 11. Так как 11 — простое число, мы можем применить теорему Ферма: для любого целого числа $x$, не кратного 11, справедливо $x^{11-1} \equiv x^{10} \equiv 1 \pmod{11}$.

1) $a = 2^{2002} + 3^{2002}$

Нам нужно найти $a \pmod{11}$. Для этого найдем остатки от деления на 11 для каждого слагаемого по отдельности.

Представим показатель степени 2002 через 10:

$2002 = 10 \cdot 200 + 2$.

Теперь найдем остаток для $2^{2002}$:

$2^{2002} = 2^{10 \cdot 200 + 2} = (2^{10})^{200} \cdot 2^2$.

По малой теореме Ферма, $2^{10} \equiv 1 \pmod{11}$.

Следовательно, $2^{2002} \equiv (1)^{200} \cdot 2^2 \pmod{11} \equiv 1 \cdot 4 \pmod{11} \equiv 4 \pmod{11}$.

Теперь найдем остаток для $3^{2002}$:

$3^{2002} = 3^{10 \cdot 200 + 2} = (3^{10})^{200} \cdot 3^2$.

По малой теореме Ферма, $3^{10} \equiv 1 \pmod{11}$.

Следовательно, $3^{2002} \equiv (1)^{200} \cdot 3^2 \pmod{11} \equiv 1 \cdot 9 \pmod{11} \equiv 9 \pmod{11}$.

Теперь сложим полученные остатки:

$a = 2^{2002} + 3^{2002} \equiv 4 + 9 \pmod{11} \equiv 13 \pmod{11}$.

Найдем остаток от деления 13 на 11: $13 = 1 \cdot 11 + 2$. Значит, $13 \equiv 2 \pmod{11}$.

Таким образом, остаток от деления числа $a$ на 11 равен 2.

Ответ: 2

2) $a = 3^{2002} + 7^{2002}$

Из предыдущего пункта мы уже знаем, что $3^{2002} \equiv 9 \pmod{11}$.

Теперь найдем остаток от деления на 11 для второго слагаемого $7^{2002}$.

Показатель степени тот же: $2002 = 10 \cdot 200 + 2$.

$7^{2002} = 7^{10 \cdot 200 + 2} = (7^{10})^{200} \cdot 7^2$.

По малой теореме Ферма, $7^{10} \equiv 1 \pmod{11}$.

Следовательно, $7^{2002} \equiv (1)^{200} \cdot 7^2 \pmod{11} \equiv 1 \cdot 49 \pmod{11}$.

Найдем остаток от деления 49 на 11: $49 = 4 \cdot 11 + 5$. Значит, $49 \equiv 5 \pmod{11}$.

Итак, $7^{2002} \equiv 5 \pmod{11}$.

Теперь сложим остатки для обоих слагаемых:

$a = 3^{2002} + 7^{2002} \equiv 9 + 5 \pmod{11} \equiv 14 \pmod{11}$.

Найдем остаток от деления 14 на 11: $14 = 1 \cdot 11 + 3$. Значит, $14 \equiv 3 \pmod{11}$.

Таким образом, остаток от деления числа $a$ на 11 равен 3.

Ответ: 3