Номер 242, страница 82 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

242. Доказать, что:

1) число $16^3 + 31^4 - 2$ делится на 15;

2) число $10^{10} + 28^3 - 2$ делится на 9;

3) число $36^3 + 19^3 - 16$ делится на 17.

1) Доказать, что число $16^3 + 31^4 - 2$ делится на 15

Чтобы доказать, что число делится на 15, нужно показать, что оно сравнимо с нулём по модулю 15. Для этого воспользуемся свойствами сравнений.

Рассмотрим каждый член выражения по модулю 15:

Первый член: $16$ при делении на $15$ даёт в остатке $1$. Запишем это в виде сравнения: $16 \equiv 1 \pmod{15}$. Тогда, по свойству сравнений, $16^3 \equiv 1^3 \pmod{15}$, что равносильно $16^3 \equiv 1 \pmod{15}$.

Второй член: $31$ при делении на $15$ даёт в остатке $1$ ($31 = 2 \cdot 15 + 1$). Следовательно, $31 \equiv 1 \pmod{15}$. Тогда $31^4 \equiv 1^4 \pmod{15}$, что равносильно $31^4 \equiv 1 \pmod{15}$.

Теперь подставим найденные сравнения в исходное выражение:

$16^3 + 31^4 - 2 \equiv 1 + 1 - 2 \pmod{15}$

$16^3 + 31^4 - 2 \equiv 0 \pmod{15}$

Так как выражение сравнимо с нулём по модулю 15, это означает, что оно делится на 15 без остатка.

Ответ: Доказано.

2) Доказать, что число $10^{10} + 28^3 - 2$ делится на 9

Чтобы доказать, что число делится на 9, нужно показать, что оно сравнимо с нулём по модулю 9.

Рассмотрим каждый член выражения по модулю 9:

Первый член: $10$ при делении на $9$ даёт в остатке $1$. Следовательно, $10 \equiv 1 \pmod{9}$. Тогда $10^{10} \equiv 1^{10} \pmod{9}$, что равносильно $10^{10} \equiv 1 \pmod{9}$.

Второй член: $28$ при делении на $9$ даёт в остатке $1$ ($28 = 3 \cdot 9 + 1$). Следовательно, $28 \equiv 1 \pmod{9}$. Тогда $28^3 \equiv 1^3 \pmod{9}$, что равносильно $28^3 \equiv 1 \pmod{9}$.

Подставим найденные сравнения в исходное выражение:

$10^{10} + 28^3 - 2 \equiv 1 + 1 - 2 \pmod{9}$

$10^{10} + 28^3 - 2 \equiv 0 \pmod{9}$

Так как выражение сравнимо с нулём по модулю 9, оно делится на 9 без остатка.

Ответ: Доказано.

3) Доказать, что число $36^3 + 19^3 - 16$ делится на 17

Чтобы доказать, что число делится на 17, нужно показать, что оно сравнимо с нулём по модулю 17.

Рассмотрим каждый член выражения по модулю 17:

Первый член: $36$ при делении на $17$ даёт в остатке $2$ ($36 = 2 \cdot 17 + 2$). Следовательно, $36 \equiv 2 \pmod{17}$. Тогда $36^3 \equiv 2^3 \pmod{17}$, что равносильно $36^3 \equiv 8 \pmod{17}$.

Второй член: $19$ при делении на $17$ даёт в остатке $2$ ($19 = 1 \cdot 17 + 2$). Следовательно, $19 \equiv 2 \pmod{17}$. Тогда $19^3 \equiv 2^3 \pmod{17}$, что равносильно $19^3 \equiv 8 \pmod{17}$.

Подставим найденные сравнения в исходное выражение:

$36^3 + 19^3 - 16 \equiv 8 + 8 - 16 \pmod{17}$

$36^3 + 19^3 - 16 \equiv 0 \pmod{17}$

Так как выражение сравнимо с нулём по модулю 17, оно делится на 17 без остатка.

Ответ: Доказано.