Номер 243, страница 84 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

243. Найти остаток от деления:

1) числа $39^{46}$ на 5;

2) числа $64^{29}$ на 7;

3) числа $103^{15}$ на 17;

4) числа $10^{10} + 28^3 - 1$ на 3;

5) числа $7 \cdot 10^{30}$ на 9.

1) Для нахождения остатка от деления числа $39^{46}$ на 5 воспользуемся свойствами сравнений по модулю. Сначала найдем остаток от деления основания степени, числа 39, на 5.
$39 = 5 \cdot 7 + 4$.
Следовательно, 39 дает остаток 4 при делении на 5, что можно записать как $39 \equiv 4 \pmod{5}$.
Также, $4 \equiv -1 \pmod{5}$. Это упростит вычисления.
Теперь мы можем заменить основание степени на его остаток:
$39^{46} \equiv 4^{46} \equiv (-1)^{46} \pmod{5}$.
Поскольку показатель степени 46 является четным числом, $(-1)^{46} = 1$.
Таким образом, $39^{46} \equiv 1 \pmod{5}$.
Это означает, что остаток от деления числа $39^{46}$ на 5 равен 1.

Ответ: 1

2) Найдем остаток от деления числа $64^{29}$ на 7. Сначала найдем остаток от деления 64 на 7.
$64 = 7 \cdot 9 + 1$.
Следовательно, $64 \equiv 1 \pmod{7}$.
Теперь возведем обе части сравнения в степень 29:
$64^{29} \equiv 1^{29} \pmod{7}$.
Так как $1^{29} = 1$, получаем:
$64^{29} \equiv 1 \pmod{7}$.
Остаток от деления числа $64^{29}$ на 7 равен 1.

Ответ: 1

3) Найдем остаток от деления числа $103^{15}$ на 17. Сначала найдем остаток от деления 103 на 17.
$103 = 17 \cdot 6 + 1$.
Следовательно, $103 \equiv 1 \pmod{17}$.
Возведем обе части сравнения в степень 15:
$103^{15} \equiv 1^{15} \pmod{17}$.
Так как $1^{15} = 1$, получаем:
$103^{15} \equiv 1 \pmod{17}$.
Остаток от деления числа $103^{15}$ на 17 равен 1.

Ответ: 1

4) Найдем остаток от деления числа $10^{10} + 28^3 - 1$ на 3. Для этого найдем остатки от деления каждого слагаемого на 3.
Для первого слагаемого $10^{10}$:
$10 = 3 \cdot 3 + 1 \Rightarrow 10 \equiv 1 \pmod{3}$.
$10^{10} \equiv 1^{10} \equiv 1 \pmod{3}$.
Для второго слагаемого $28^3$:
$28 = 3 \cdot 9 + 1 \Rightarrow 28 \equiv 1 \pmod{3}$.
$28^3 \equiv 1^3 \equiv 1 \pmod{3}$.
Для третьего слагаемого $-1$:
$-1 \equiv 2 \pmod{3}$.
Теперь сложим остатки:
$10^{10} + 28^3 - 1 \equiv 1 + 1 - 1 \pmod{3}$.
$1 + 1 - 1 = 1$.
Следовательно, $10^{10} + 28^3 - 1 \equiv 1 \pmod{3}$.
Остаток от деления данного числа на 3 равен 1.

Ответ: 1

5) Найдем остаток от деления числа $7 \cdot 10^{30}$ на 9. Воспользуемся свойством, что число и сумма его цифр имеют одинаковые остатки при делении на 9.
Для числа 10: $10 \equiv 1+0 \equiv 1 \pmod{9}$.
Тогда $10^{30} \equiv 1^{30} \equiv 1 \pmod{9}$.
Теперь найдем остаток от деления всего выражения:
$7 \cdot 10^{30} \equiv 7 \cdot 1 \pmod{9}$.
$7 \cdot 1 = 7$.
Значит, $7 \cdot 10^{30} \equiv 7 \pmod{9}$.
Остаток от деления числа $7 \cdot 10^{30}$ на 9 равен 7.

Ответ: 7