Номер 237, страница 81 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

237. Натуральные числа $5n+1$ и $7n+2$ делятся на натуральное число $m > 1$. Найти $m$.

По условию задачи, натуральные числа $5n+1$ и $7n+2$ делятся на натуральное число $m > 1$. Это значит, что $m$ является их общим делителем.
Воспользуемся свойством делимости: если два числа $A$ и $B$ делятся на некоторое число $m$, то и любая их целочисленная линейная комбинация $kA + lB$ (где $k$ и $l$ — целые числа) также делится на $m$.
Подберем коэффициенты $k$ и $l$ таким образом, чтобы исключить переменную $n$. Составим следующую линейную комбинацию:
$7 \cdot (5n+1) - 5 \cdot (7n+2)$
Это выражение также должно делиться на $m$. Раскроем скобки и упростим его:
$(35n + 7) - (35n + 10) = 35n + 7 - 35n - 10 = -3$
Следовательно, число $-3$ должно делиться на $m$. Это означает, что $m$ является натуральным делителем числа $3$.
Натуральными делителями числа $3$ являются числа $1$ и $3$.
Согласно условию задачи, $m > 1$. Таким образом, единственно возможное значение для $m$ — это $3$.
Теперь необходимо убедиться, что такое натуральное число $n$, при котором оба выражения делятся на $3$, действительно существует. Проверим это с помощью сравнений по модулю $3$:
1) $5n+1$ должно делиться на $3$: $5n+1 \equiv 0 \pmod{3}$. Так как $5 \equiv 2 \pmod{3}$, то получаем $2n+1 \equiv 0 \pmod{3}$. Это сравнение равносильно $2n \equiv -1 \pmod{3}$ или $2n \equiv 2 \pmod{3}$. Так как $2$ и $3$ взаимно просты, мы можем разделить обе части на $2$, получив $n \equiv 1 \pmod{3}$.
2) $7n+2$ должно делиться на $3$: $7n+2 \equiv 0 \pmod{3}$. Так как $7 \equiv 1 \pmod{3}$, то получаем $n+2 \equiv 0 \pmod{3}$. Это сравнение равносильно $n \equiv -2 \pmod{3}$ или $n \equiv 1 \pmod{3}$.
Оба условия выполняются одновременно для всех натуральных чисел $n$, которые при делении на $3$ дают в остатке $1$ (например, для $n=1, 4, 7, \dots$).
Для примера, возьмем $n=1$. Тогда $5n+1 = 5(1)+1 = 6$ и $7n+2 = 7(1)+2 = 9$. Оба числа, $6$ и $9$, делятся на $3$.
Таким образом, значение $m=3$ полностью удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: $m=3$.