Номер 10, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

10. Сформулировать теорему, обратную теореме «Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, имеет длину, равную половине длины третьей стороны». Верна ли прямая теорема? обратная теорема?

Сформулировать теорему, обратную теореме «Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, имеет длину, равную половине длины третьей стороны»
Прямая теорема имеет условие («отрезок соединяет середины двух сторон треугольника») и заключение («его длина равна половине длины третьей стороны»). Чтобы сформулировать обратную теорему, необходимо поменять местами условие и заключение.
Таким образом, условием обратной теоремы будет: «Отрезок, концы которого лежат на двух сторонах треугольника, имеет длину, равную половине длины третьей стороны».
А заключением станет: «Этот отрезок соединяет середины этих сторон».
Полная формулировка обратной теоремы звучит следующим образом: «Если отрезок, концы которого лежат на двух сторонах треугольника, имеет длину, равную половине длины третьей стороны, то он соединяет середины этих сторон (то есть является средней линией)».
Ответ: Если отрезок, концы которого лежат на двух сторонах треугольника, имеет длину, равную половине длины третьей стороны, то этот отрезок соединяет середины данных сторон.

Верна ли прямая теорема?
Да, прямая теорема верна. Это утверждение является частью теоремы о средней линии треугольника. Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Теорема о средней линии гласит, что средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине. Таким образом, утверждение о том, что её длина равна половине третьей стороны, является истинным. Для треугольника $\triangle ABC$ со средней линией $MN$, где $M$ — середина $AB$ и $N$ — середина $BC$, справедливо равенство $MN = \frac{1}{2} AC$.
Ответ: Да, прямая теорема верна.

Верна ли обратная теорема?
Нет, сформулированная обратная теорема не верна. Того факта, что длина отрезка с концами на двух сторонах треугольника равна половине третьей стороны, недостаточно, чтобы утверждать, что этот отрезок является средней линией. Можно построить контрпример: в треугольнике $\triangle ABC$, помимо средней линии $M'N'$ (где $M'$ и $N'$ — середины сторон), для которой выполняется $M'N' = \frac{1}{2} AC$, можно найти и другие отрезки $MN$ с концами на тех же сторонах, длина которых также будет равна $\frac{1}{2} AC$, но при этом точки $M$ и $N$ не будут серединами сторон. Такой отрезок $MN$, как правило, не будет параллелен стороне $AC$. Обратная теорема была бы верна, если бы к условию о длине добавилось условие о параллельности этого отрезка третьей стороне.
Ответ: Нет, обратная теорема не верна.