Номер 5, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

5. Построить график функции $y = -\frac{1}{x+1} - 2$.

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{x+1} - 2$ воспользуемся методом преобразования графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$.

1. Построение базового графика

Сначала строим график функции $y = \frac{1}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.

2. Сдвиг по оси Ox

Преобразуем функцию к виду $y = \frac{1}{x+1}$. Это соответствует сдвигу графика $y = \frac{1}{x}$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота смещается и становится $x = -1$. Горизонтальная асимптота остается $y=0$.

3. Отражение относительно оси Ox

Теперь рассмотрим функцию $y = -\frac{1}{x+1}$. Знак "минус" перед дробью означает симметричное отражение графика $y = \frac{1}{x+1}$ относительно оси Ox. Ветви гиперболы, которые были "справа-сверху" и "слева-снизу" от асимптот, теперь будут "справа-снизу" и "слева-сверху". Асимптоты не изменяются: $x=-1$ и $y=0$.

4. Сдвиг по оси Oy

Наконец, строим итоговый график $y = -\frac{1}{x+1} - 2$. Это соответствует сдвигу графика $y = -\frac{1}{x+1}$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Горизонтальная асимптота смещается и становится $y = -2$. Вертикальная асимптота остается $x=-1$.

Исследование итоговой функции:

Область определения: Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$. $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Область значений: Функция не может принимать значение, равное горизонтальной асимптоте. $E(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Асимптоты:

• Вертикальная асимптота: $x = -1$
• Горизонтальная асимптота: $y = -2$

Найдем несколько точек для точности построения:

• Пересечение с осью Oy ($x=0$): $y = -\frac{1}{0+1} - 2 = -1 - 2 = -3$. Точка $(0, -3)$.
• Пересечение с осью Ox ($y=0$): $0 = -\frac{1}{x+1} - 2 \implies 2 = -\frac{1}{x+1} \implies 2(x+1) = -1 \implies 2x+2 = -1 \implies 2x = -3 \implies x = -1.5$. Точка $(-1.5, 0)$.
• Дополнительные точки:
  • при $x = -2$, $y = -\frac{1}{-2+1} - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка $(-2, -1)$.
  • при $x = -3$, $y = -\frac{1}{-3+1} - 2 = \frac{1}{2} - 2 = -1.5$. Точка $(-3, -1.5)$.
  • при $x = 1$, $y = -\frac{1}{1+1} - 2 = -0.5 - 2 = -2.5$. Точка $(1, -2.5)$.
  • при $x = -0.5$, $y = -\frac{1}{-0.5+1} - 2 = -\frac{1}{0.5} - 2 = -2 - 2 = -4$. Точка $(-0.5, -4)$.

Построение:

1. На координатной плоскости строим пунктирными линиями асимптоты $x=-1$ и $y=-2$.
2. Отмечаем вычисленные точки: $(0, -3)$, $(-1.5, 0)$, $(-2, -1)$, $(-3, -1.5)$, $(1, -2.5)$, $(-0.5, -4)$.
3. Плавно соединяем точки, получая две ветви гиперболы, которые приближаются к асимптотам. Одна ветвь находится слева от $x=-1$ и выше $y=-2$. Вторая ветвь находится справа от $x=-1$ и ниже $y=-2$.

Ответ: Графиком функции $y = -\frac{1}{x+1} - 2$ является гипербола. Она получена из графика $y=\frac{1}{x}$ путем сдвига на 1 единицу влево, отражения относительно оси Ox и сдвига на 2 единицы вниз. Вертикальная асимптота графика — прямая $x=-1$, горизонтальная асимптота — прямая $y=-2$. График пересекает ось Oy в точке $(0, -3)$ и ось Ox в точке $(-1.5, 0)$. Ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях относительно новой системы координат, образованной асимптотами.