Номер 7, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

7. Построить график функции $y = x^2 - 5x + 6$.

Для построения графика функции $y = x^2 - 5x + 6$ необходимо выполнить последовательность шагов, чтобы определить ключевые характеристики и точки графика.

1. Определение вида графика и направления ветвей

Данная функция является квадратичной, так как имеет вид $y = ax^2 + bx + c$. Ее графиком является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Нахождение координат вершины параболы

Координаты вершины параболы $(x_в; y_в)$ находятся по формулам:

$x_в = -\frac{b}{2a}$

$y_в = y(x_в)$

В нашем случае $a=1$, $b=-5$, $c=6$.

Вычисляем абсциссу вершины:

$x_в = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} = 2.5$

Теперь подставляем значение $x_в$ в уравнение функции, чтобы найти ординату вершины:

$y_в = (2.5)^2 - 5 \cdot (2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2.5; -0.25)$. Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая $x = 2.5$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат

С осью ординат (OY):

Для нахождения точки пересечения с осью OY нужно принять $x = 0$:

$y = 0^2 - 5 \cdot 0 + 6 = 6$

Точка пересечения с осью OY: $(0; 6)$.

С осью абсцисс (OX):

Для нахождения точек пересечения с осью OX нужно принять $y = 0$ и решить квадратное уравнение:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

Точки пересечения с осью OX (нули функции): $(2; 0)$ и $(3; 0)$.

4. Нахождение дополнительных точек для точности

Мы уже имеем несколько ключевых точек: вершину $(2.5; -0.25)$, точки пересечения с осями $(0; 6)$, $(2; 0)$, $(3; 0)$. Используя ось симметрии $x = 2.5$, можно найти симметричные точки. Например, точка $(0; 6)$ симметрична точке $(5; 6)$.

Для большей точности построения найдем еще одну пару точек. Возьмем $x=1$:

$y(1) = 1^2 - 5 \cdot 1 + 6 = 1 - 5 + 6 = 2$. Точка $(1; 2)$.

Симметричная ей точка относительно оси $x=2.5$ имеет абсциссу $2.5 + (2.5 - 1) = 4$. Точка $(4; 2)$.

Составим таблицу значений:

5. Построение графика

Отметим найденные точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой, учитывая, что это парабола с вершиной в точке $(2.5; -0.25)$ и ветвями вверх.

Ответ: Графиком функции $y = x^2 - 5x + 6$ является парабола. Ветви параболы направлены вверх. Вершина находится в точке $(2.5; -0.25)$. График пересекает ось OY в точке $(0; 6)$ и ось OX в точках $(2; 0)$ и $(3; 0)$.